М721 - М740 (20)

11.

M731

Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, кто первым получит произведение больше
а) тысячи,
б) миллиона.
Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнер?

12.

M732

а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10.

б) В четырехугольник ABCD вписаны два прямоугольника с паралельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD, DA лежит по одной вершине каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырехугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырехугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10.

13.

M733

а) При каких натуральных m число 31^m - 1 делится на 2^m?

б)* Докажите, что для любого нечетного а и натурального m существует бесконечно много натуральных k таких, что a^k - 1 делится на 2^m.

в)* Докажите, что для любого нечетного а существует лишь конечное число натуральных m таких, что a^k - 1 делится на 2^m.

14.

M734

Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную вокруг него окружность в точке K. Докажите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB (или AC) равна полусумме длин сторон AB и AC.

15.

M735*

а) Докажите, что круг диаметром 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосами, суммарная ширина которых меньше 1 (показано на рисунке).

б) Назовем слоем толщиной h часть пространства, заключенного между параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Докажите, что шар диаметром 1 нельзя покрыть несколькими слоями, суммарная толщина которых меньше 1.

16.

M736

Медиана ВK и биссектриса СL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство

.

17.

M737

Обозначим через d_k количество таких домов в вашем городе, в которых живет не меньше k жителей (d₁ ³ d₂ ³d₃ ³...), и через c_m — количество жителей в m-м по величине населения доме (c₁ ³ c₂ ³c₃ ³...). Докажите равенства

а) c₁ + c₂ + c₃ +... = d₁ + d₂ + d₃ +...;

б) c₁² + c₂² + c₃² +... = d₁ + 3d₂ + 5d₃ +...+ (2k - 1)d_k +...;

в) d₁² + d₂² + d₃² +... = c₁ + 3c₂ + 5c₃ +...+ (2k - 1)c_m +...

18.

M738*

Докажите, что

а) количество прямых различных направлений, на которые данный n-угольник дает одинаковые по величине проекции, не превосходит 2n;

б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника четно;

в) для треугольника это число больше трех тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

19.

M739

Докажите,что при любом значении х, для которого левая часть имеет смысл, выполнены равенства

a)

б)
где n — нечетное число, c_n — константа (зависящая от n).

в)* Найдите c_n для каждого нечетного n = 5, 7, ...

20.

M740

Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми ее пальцем! До этого уровня и надо налить воду» (показано на рисунке). — «Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие», — усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годится в любом случае!» — гордо ответила тетя Люда.

а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объемов воды и пшена по ее рецепту всегда получается одинаковым.

б) Чему равно это отношение?