1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

M701 - M720 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M701

Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник LMN. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны LM и LN, а угол между ними на 60° больше угла L в треугольнике LMN. Марина построила свой треугольник со сторонами ML и MN , угол между которыми на 60° больше угла М, а Наташа — свой, у которого угол между сторонами NL и NM равен ÐN + 60°. Докажите, что третьи (новые) стороны треугольников у всех трех девочек одинаковы.

 18 Января 2004     11:32 

2.

M702

Обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, S4 = 17 и т.д. Докажите, что при любом n между Sn и Sn+1 встречается точный квадрат.

 18 Января 2004     11:46 

3.

M703

Решите систему уравнений:

 18 Января 2004     11:47 

4.

M704

Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат (показано на рисунке).

 18 Января 2004     11:49 

5.

M705

На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (т.е. каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).

а) Пусть каждая карточка имеет размеры 1 × 2 клетки. Докажите, что можно выбрать часть карточек так, чтобы они покрывали лист в один слой. (Передвигать карточки нельзя.)

Останется ли это верным, если карточки

б) могут иметь произвольные размеры,

в) имеют размеры 2 × 3 клетки?

 18 Января 2004     11:50 

6.

M706

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (показано на рисунке), имеют одинаковые длины.

 18 Января 2004     11:51 

7.

M707

Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, где занимаются не менее 2/3 учеников этого класса.

 18 Января 2004     11:52 

8.

M708

На сторонах выпуклого четырехугольника площадью S вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площадью . Докажите, что

а) S1³2S;

б) S1=2S в том и только в том случае, когда диагонали исходного четырехугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

 18 Января 2004     11:55 

9.

M709*

Пол комнаты, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом 60°. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим:

Докажите, что

а) из любого расположения плиток такими операциями можно получить любое другое;

б) это можно сделать не более чем за 1000 операций;

в) из расположения плиток нижнего левого рисунка нельзя получить расположение рисунка нижнего правого менее чем за 1000 операций.

 18 Января 2004     13:57 

10.

M710*

Существует ли последовательность различных натуральных чисел a1 ,a2a3 ,..., ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такая что (при всех n = 1, 2, ...)

а) an £ 2 × (3)n/2;

б) an £ 10 × (1,5)n;

в) an £ n10;

г) an £ 1000n7/2;

д) an £ 1000n3/2?

 18 Января 2004     12:02 
Задач на странице:  5  10  25