M701 - M720 (20)

11.

M711

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром О, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырехугольник на две части равной площади.

12.

M712

Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры от 0 до 7.

13.

M713

M — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множества M, если из M можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

14.

M714*

N друзей одновременно узнали N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости?

Рассмотрите три случая:

а) N = 64;

б) N = 55;

в) N = 100.

15.

M715*

Прямой угол разбит на клетки (показано на рисунке справа). На некоторых клетках стоят фишки, причем расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клетку ставится одна фишка. Можно ли указанными операциями освободить от фишек уголки

а) из трех,
б) из шести,
в) десяти клеток,

показанные на рисунках а—в внизу?

16.

M716

Из точки P внутри данного треугольника АВС опускаются перпендикуляры PA₁, PB₁, PC₁ на прямые ВС, АС и АВ. Для каких точек P внутри треугольника АВС величина

17.

M717

Даны натуральные числа n и r, 1 £ r £ n. Рассмотрим всевозможные подмножества множества {1, 2, ..., n}, состоящие из r чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно (n + 1) / (r + 1). (Например, при n = 3, r = 2 получаем три подмножества {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, и среднее арифметическое равно (1 + 1 + 2) / 3 = 4/3.)

18.

M718

Найдите наибольшее значение выражения вида m² + n² для всевозможных пар (m; n) натуральных чисел, таких что 1 £ m £1981, 1 £ n £1981 и ½n² – mn – m²½ = 1.

19.

M719

а) Для каких n ³ З существует множество из n последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наибольшее из этих п чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных n - 1 чисел?

б) При каких n ³ З существует единственное множество из n последовательных чисел, обладающих указанным свойством?

20.

M720

Про функцию f, определенную на множестве всех пар неотрицательных целых чисел (x; y), известно следующее:

1) f(0; y) = y + 1,

2) f(x + 1; 0) = f(x; 1),

3) f(x + 1; y + 1) = f(x; f(x + 1; y)) для каждой пары x ³ 0, y ³ 0.

Найдите значение f(4; 1981).