1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

M701 - M720 (20)

Страницы:  «  1  2 

11.

M711

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром О, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырехугольник на две части равной площади.

 18 Января 2004     12:02 

12.

M712

Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры от 0 до 7.

 18 Января 2004     12:03 

13.

M713

M — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множества M, если из M можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

 18 Января 2004     12:04 

14.

M714*

N друзей одновременно узнали N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости?

Рассмотрите три случая:

а) N = 64;

б) N = 55;

в) N = 100.

 18 Января 2004     12:07 

15.

M715*

Прямой угол разбит на клетки (показано на рисунке справа). На некоторых клетках стоят фишки, причем расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клетку ставится одна фишка. Можно ли указанными операциями освободить от фишек уголки

а) из трех,
б) из шести,
в) десяти клеток,

показанные на рисунках а—в внизу?

 18 Января 2004     14:11 

16.

M716

Из точки P внутри данного треугольника АВС опускаются перпендикуляры PA1, PB1, PC1 на прямые ВС, АС и АВ. Для каких точек P внутри треугольника АВС величина

принимает наименьшее значение?

 18 Января 2004     14:01 

17.

M717

Даны натуральные числа n и r, 1 £ r £ n. Рассмотрим всевозможные подмножества множества {1, 2, ..., n}, состоящие из r чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно (n + 1) / (r + 1). (Например, при n = 3, r = 2 получаем три подмножества {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, и среднее арифметическое равно (1 + 1 + 2) / 3 = 4/3.)

 18 Января 2004     14:01 

18.

M718

Найдите наибольшее значение выражения вида m2 + n2 для всевозможных пар (mn) натуральных чисел, таких что 1 £ m £1981, 1 £ n £1981 и ½n2 – mn – m2½ = 1.

 18 Января 2004     14:03 

19.

M719

а) Для каких n ³ З существует множество из n последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наибольшее из этих п чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных n - 1 чисел?

б) При каких n ³ З существует единственное множество из n последовательных чисел, обладающих указанным свойством?

 18 Января 2004     14:04 

20.

M720

Про функцию f, определенную на множестве всех пар неотрицательных целых чисел (x; y), известно следующее:

1) f(0; y) = y + 1,

2) f(x + 1; 0) = f(x; 1),

3) f(x + 1; y + 1) = f(x; f(x + 1; y)) для каждой пары x ³ 0, y ³ 0.

Найдите значение f(4; 1981).

 18 Января 2004     14:08 
Задач на странице:  5  10  25