M701 - M720 (20)

1.

M701

Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник LMN. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны LM и LN, а угол между ними на 60° больше угла L в треугольнике LMN. Марина построила свой треугольник со сторонами ML и MN , угол между которыми на 60° больше угла М, а Наташа — свой, у которого угол между сторонами NL и NM равен ÐN + 60°. Докажите, что третьи (новые) стороны треугольников у всех трех девочек одинаковы.

2.

M702

Обозначим через S_n сумму первых n простых чисел: S₁ = 2, S₂ = 2 + 3 = 5, S₃ = 2 + 3 + 5 = 10, S₄ = 17 и т.д. Докажите, что при любом n между S_n и S_n+1 встречается точный квадрат.

3.

M703

Решите систему уравнений:

4.

M704

Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют новый квадрат (показано на рисунке).

5.

M705

На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (т.е. каждую клетку листа покрывают в точности две карточки).

а) Пусть каждая карточка имеет размеры 1 × 2 клетки. Докажите, что можно выбрать часть карточек так, чтобы они покрывали лист в один слой. (Передвигать карточки нельзя.)

Останется ли это верным, если карточки

б) могут иметь произвольные размеры,

в) имеют размеры 2 × 3 клетки?

6.

M706

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (показано на рисунке), имеют одинаковые длины.

7.

M707

Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, где занимаются не менее 2/3 учеников этого класса.

8.

M708

На сторонах выпуклого четырехугольника площадью S вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площадью . Докажите, что

а) S₁³2S;

б) S₁=2S в том и только в том случае, когда диагонали исходного четырехугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

9.

M709*

Пол комнаты, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом 60°. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим:

Докажите, что

а) из любого расположения плиток такими операциями можно получить любое другое;

б) это можно сделать не более чем за 1000 операций;

в) из расположения плиток нижнего левого рисунка нельзя получить расположение рисунка нижнего правого менее чем за 1000 операций.

10.

M710*

Существует ли последовательность различных натуральных чисел a₁ ,a₂, a₃ ,..., ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такая что (при всех n = 1, 2, ...)

а) a_n £ 2 × (3)^n/2;

б) a_n £ 10 × (1,5)ⁿ;

в) a_n £ n¹⁰;

г) a_n £ 1000n^7/2;

д) a_n £ 1000n^3/2?

11.

M711

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром О, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырехугольник на две части равной площади.

12.

M712

Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры от 0 до 7.

13.

M713

M — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множества M, если из M можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

14.

M714*

N друзей одновременно узнали N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости?

Рассмотрите три случая:

а) N = 64;

б) N = 55;

в) N = 100.

15.

M715*

Прямой угол разбит на клетки (показано на рисунке справа). На некоторых клетках стоят фишки, причем расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клетку ставится одна фишка. Можно ли указанными операциями освободить от фишек уголки

а) из трех,
б) из шести,
в) десяти клеток,

показанные на рисунках а—в внизу?

16.

M716

Из точки P внутри данного треугольника АВС опускаются перпендикуляры PA₁, PB₁, PC₁ на прямые ВС, АС и АВ. Для каких точек P внутри треугольника АВС величина

17.

M717

Даны натуральные числа n и r, 1 £ r £ n. Рассмотрим всевозможные подмножества множества {1, 2, ..., n}, состоящие из r чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно (n + 1) / (r + 1). (Например, при n = 3, r = 2 получаем три подмножества {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, и среднее арифметическое равно (1 + 1 + 2) / 3 = 4/3.)

18.

M718

Найдите наибольшее значение выражения вида m² + n² для всевозможных пар (m; n) натуральных чисел, таких что 1 £ m £1981, 1 £ n £1981 и ½n² – mn – m²½ = 1.

19.

M719

а) Для каких n ³ З существует множество из n последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наибольшее из этих п чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных n - 1 чисел?

б) При каких n ³ З существует единственное множество из n последовательных чисел, обладающих указанным свойством?

20.

M720

Про функцию f, определенную на множестве всех пар неотрицательных целых чисел (x; y), известно следующее:

1) f(0; y) = y + 1,

2) f(x + 1; 0) = f(x; 1),

3) f(x + 1; y + 1) = f(x; f(x + 1; y)) для каждой пары x ³ 0, y ³ 0.

Найдите значение f(4; 1981).