2. Отношение сторон подобных треугольников (17)

1.

Задача 1.19

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что

1 AE2

+

1 AF2

=

1 AB2

.

2.

Задача 1.20

На высотах BB₁ и CC₁ треугольника ABC взяты точки B₂ и C₂ так, что РAB₂C = РAC₂B = 90°. Докажите, что AB₂ = AC₂.

3.

Задача 1.21

В трапецию ABCD (BC || AD) вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.

а) Пусть Q — точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что KQ||AD.

б) Докажите, что AK · KB = CL · LD.

4.

Задача 1.22

На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжение) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что DMAN ~ DABC.

5.

Задача 1.23

Прямая l пересекает стороны AB и AD параллелограмма ABCD в точках E и F соответственно. Пусть G — точка пересечения прямой l с диагональю AC. Докажите, что

AB AE

+

AD AF

=

AC AG

.

6.

Задача 1.24

Пусть AC — большая из диагоналей параллелограмма ABCD. Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что AB · AE + AD · AF = AC².

7.

Задача 1.25

Углы треугольника ABC связаны соотношением 3a +  2b  =  180°. Докажите, что a²  +  bc = c².

8.

Задача 1.26

Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M — точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина

AM · BM CM · DM

остается постоянной.

9.

Задача 1.27

Через произвольною точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

10.

Задача 1.28

На биссектрисе угла с вершиной C взята точка P. Прямая, проходящая через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и b. Докажите, что величина

1 a

+

1 b

не зависит от выбора этой прямой.

11.

Задача 1.29

На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

12.

Задача 1.30

Точка O — центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что BK · AB = BO² и AM · AB = AO². Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

13.

Задача 1.31

Докажите,  что  если  a₁ = a₂ и b₁ = b₂, то x = y.

14.

Задача 1.33

Отрезок  BE  разбивает  треугольник ABC на два подобных треугольника, причем коэффициент подобия равен . Найдите углы треугольника ABC.

15.

Задача 1.17

а)В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Докажите, что AD : DC  =  AB : BC.

б) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису AA₁ в отношении AO : OA₁  =  (b + с) : a, где a, b, c — длины сторон треугольника.

16.

Задача 1.18

Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей стороны равна b. Вычислите радиус его описанной окружности.

17.

Задача 1.32

На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC. Докажите, что треугольник ABC подобен всем
этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.