1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Финал (10)

Школа №33(1) - г.Рыбинск(1) (18 марта 2000 г.)

Страницы:  1 

1.

В квадрате n ´ n стоят ненулевые числа. Известно, что каждое число ровно в k раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (то есть в одной строке или в одном столбце, кроме него самого). При каких k это возможно?

 16 Апреля 2004     21:42 

2.

На доске написаны числа 1, 2, …, 1999. Два игрока по очереди делают ходы по следующим правилам: при каждом ходе разрешается стереть любые два числа и записать на их место либо их сумму, либо их произведение, либо разность (любого знака). Первый игрок хочет, чтобы число, которое останется на доске последним, делилось на 1999. Сможет ли второй ему помешать?

 16 Апреля 2004     21:42 

3.

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Окружность S3 касается внешним образом S1 и S2 в точках C и D соответственно. Пусть PQ — хорда, высекаемая прямой AB на окружности S3, а K — середина CD. Докажите равенство углов PKC и QKC.

 16 Апреля 2004     21:42 

4.

Докажите, что для каждого унитарного многочлена f (x) десятой степени с целыми коэффициентами найдутся два различных натуральных числа a и b, не превосходящие 101, для которых f (a) – f (b) делится на 101.

 16 Апреля 2004     21:43 

5.

На плоскости проведено 500 прямых. Оказалось, что среди любых семи из этих прямых какие-то три проходят через одну точку, причем ни через какую точку не проходит более 500 прямых. Докажите, что на плоскости можно отметить 3 точки так, что каждая из прямых будет проходить через одну из отмеченных точек.

 16 Апреля 2004     21:43 

6.

Докажите, что в графе с N вершинами, степень любой вершины которого не менее трех, существует остовное дерево, в котором более чем 2N / 9 висячих вершин.

 16 Апреля 2004     21:43 

7.

В четырехугольнике ABCD лежат две окружности радиусов R1 и R2, касающиеся внешним образом. Первая окружность касается сторон DA, AB и BC, причем стороны AB в точке E.
Вторая окружность касается сторон BC, CD и DA, причем стороны CD в точке F. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке O. Докажите, что OE + OF £ 2(R1 + R2).

 16 Апреля 2004     21:43 

8.

В клетках бесконечного клетчатого листа расставлены целые числа таким образом, что для каждого числа a сумма двух чисел в клетках под ним и справа от него равна 2a + 1. Докажите, что в каждом бесконечном диагональном ряду направления "сверху справа вниз влево" все числа различны.

 16 Апреля 2004     21:44 

9.

Пусть d = НОД (ab) и a = a'd, b = b'd, n — натуральное число, большее 1. Докажите, что если b' — четно, то НОД (na + 1, nb – 1) £ 2.

 16 Апреля 2004     21:44 

10.

Пусть 0 £ a £ x1 £ x2 и y > 1. Докажите неравенство:

 16 Апреля 2004     21:44 
Задач на странице:  5  10  25