Финал (10)

1.

В квадрате n ´ n стоят ненулевые числа. Известно, что каждое число ровно в k раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (то есть в одной строке или в одном столбце, кроме него самого). При каких k это возможно?

2.

На доске написаны числа 1, 2, …, 1999. Два игрока по очереди делают ходы по следующим правилам: при каждом ходе разрешается стереть любые два числа и записать на их место либо их сумму, либо их произведение, либо разность (любого знака). Первый игрок хочет, чтобы число, которое останется на доске последним, делилось на 1999. Сможет ли второй ему помешать?

3.

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Окружность S₃ касается внешним образом S₁ и S₂ в точках C и D соответственно. Пусть PQ — хорда, высекаемая прямой AB на окружности S₃, а K — середина CD. Докажите равенство углов PKC и QKC.

4.

Докажите, что для каждого унитарного многочлена f (x) десятой степени с целыми коэффициентами найдутся два различных натуральных числа a и b, не превосходящие 101, для которых f (a) – f (b) делится на 101.

5.

На плоскости проведено 500 прямых. Оказалось, что среди любых семи из этих прямых какие-то три проходят через одну точку, причем ни через какую точку не проходит более 500 прямых. Докажите, что на плоскости можно отметить 3 точки так, что каждая из прямых будет проходить через одну из отмеченных точек.