1/8 финала. Вариант 4 (8)

1.

Отрезок [0; 1] произвольно разделили на несколько меньших отрезков и некоторые из них покрасили. Общая длина покрашенных отрезков больше 0,5. Доказать, что на отрезке найдутся две окрашенные точки на расстоянии, равном 0,5.

2.

Доказать, что квадратный трехчлен f (x) = ax² + bx + c принимает целые значения при любом целом значении x тогда и только тогда, когда 2a, a + b, c — целые числа.

3.

Можно ли представить дробь 2/7 в виде суммы двух дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — различные целые числа?

4.

Дана таблица m ´ n с числами в ней, удовлетворяющими условию: любое число в таблице — среднее арифметическое соседних с ним по сторонам чисел. Доказать, что все числа в таблице равны.

5.

Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом сделали то же самое и так далее, 100 раз. Доказать, что в результате получится нуль.

6.

В окружность радиуса R вписан остроугольный треугольник. Доказать, что его периметр не меньше 4R.

7.

Доказать, что если у двух выпуклых четырехугольников середины сторон совпадают, то их площади равны.

8.

Найти наибольшее натуральное число n, для которого система неравенств

1 < x < 2, 2 < x² < 3, …, n < xⁿ < n + 1

имеет решение.