358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
1/8 финала. Вариант 4 (8)
Задачи боя "Гимназия (г.Ростов) - Гимназия №2 (г.Ярославль)"
Доказать, что если у двух выпуклых четырехугольников середины сторон совпадают, то их площади равны. |
Рассмотрим четырехугольник ABCD, пусть точки K, L, M, N — середины AB, BC, CD, AD соответственно (см. рисунок).
Треугольники KBL и ABC подобны с коэффициентом подобия 1/2, поэтому SBKL = SABC / 4. Аналогично SDMN = SACD / 4. Тогда SBKL + SDMN = (SABC + SACD) / 4 = SABCD / 4. Аналогично SAKN + SCLM = SABCD / 4. Тогда SBKL + SDMN + SAKN + SCLM = SABCD / 2. Отсюда SKLMN = SABCD – SABCD / 2 = SABCD / 2. Получили, что если точки K, L, M, N — середины сторон двух четырехугольников, то площадь как одного, так и другого равна 2SKLMN, то есть площади равны. |
17 Марта 2004 21:37 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|
