1/16 финала. Вариант 4 (8)

1.

Доказать, что для любого натурального n справедливо неравенство log_a n ³ k × log_a 2, где а > 1, k — число простых делителей числа n.

2.

Рационально ли число
?

3.

Пусть a₁, a₂, a₃, …, a_n — некая перестановка чисел 1, 2,…, n. Доказать, что произведение (a₁ – 1)(a₂ – 2)…(a_n – n) четно, если n — нечетно.

4.

На плоскости дано n окружностей, n ³ 5. Любые три из них пересекаются в одной точке. Доказать, что все окружности пересекаются в одной точке.

5.

Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1, а площадь больше 100?

6.

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляют всевозможные семизначные числа, в которых каждая цифра участвует только один раз. Доказать, что сумма этих чисел делится на 9.

7.

Существуют ли всюду определенные функции f(x) и g(у), что для любых х и у выполняется f(x) × g(y) = x + y – 1?

8.

Внутри выпуклого 1000-угольника дано 500 точек. 1000-угольник разрезают на треугольники с вершинами в вершинах 1000-угольника и этих 500-х точках. Сколько получится треугольников?