Осень 2002 года (25)

1.

В распоряжении Кости имеются три банки емкостью 3, 5 и 10 литров. Самая большая банка полностью наполнена водой. Он может переливать воду из одной банки в другую банку следующим образом:
- если воды в банке, из которой он выливает воду, больше, чем может уместиться в банке, куда переливается вода, то та банка наполняется до краев, а остаток воды остается в первой банке;
- если воды в банке, из которой он выливает воду, меньше, чем может уместиться в банке, куда переливается вода, то вода полностью переливается в ту банку.

Как Косте отлить из десятилитровой банки в другие банки ровно 4 литра воды?

2.

На новогодней распродаже марок в филателистическом магазине любая почтовая марка стоила 1 рубль. При этом к каждым десяти купленным маркам одна давалась бесплатно, а за каждую сотню оплаченных марок еще дарили 5 марок. Заплатив все свои деньги за марки в этом магазине, Денис получил 200 марок. Сколько у него было денег? Ответ пояснить.

3.

На дне рождения у Васи каждый мальчик (и Вася тоже!) съел по 4 пирожных и по 3 кекса, а каждая девочка – по одному пирожному и 2 кекса. Оказалось, что число съеденных детьми пирожных равно числу съеденных ими кексов. Кого из гостей было больше на дне рождения у Васи, мальчиков или девочек, и на сколько? Ответ пояснить.

4.

Автомат имеет две операции “+5” и “+7”. Сколько различных натуральных чисел можно получить из 1 ровно за 100 операций? Ответ пояснить.

5.

Можно ли используя только цифры 7, 8, 9 записать три числа, одно из которых равно произведению двух других? Если можно, приведите пример, в противном случае поясните, почему нельзя.

6.

Капитан Врунгель утверждает, что сможет разложить 120 алмазов в отсеки коробки 3 ´ 5 так, чтобы во всех лежало различное число алмазов, а в любых двух соседних (через перегородку) было вместе не более 17 алмазов. Прав ли капитан? (Если прав – приведите пример расположения алмазов, иначе объясните, почему не прав.)

7.

У числа можно любую нечетную цифру переставлять в конец (записывать ее справа от него), а любую четную цифру переставлять в начало (записывать ее слева от него). Какое наименьшее число можно получить из числа 391728 такими перестановками? Ответ обоснуйте (то есть докажите, что меньшее число получить нельзя).

8.

Бумажный квадрат со стороной 5 см, разрезали на 6 прямоугольников (квадрат также является прямоугольником), с целочисленными периметрами (но не обязательно с целочисленными сторонами). Может ли быть сумма длин их периметров равной 50 см?

Целочисленный периметр – это периметр, выраженный целым числом сантиметров.

9.

Сколько существует четырехзначных чисел, у которых сумма цифр равна 34?

10.

Вчера на базаре Федя купил несколько воздушных шариков – красные по 7 рублей за штуку, а синие по 2 рубля за штуку. Придя сегодня на базар, он обнаружил, что цены шариков поменялись местами: красные стали стоить 2 рубля, а синие 7 рублей. Увидев такое, Федя сказал с досадой: “Покупай я те же шарики сегодня, сэкономил бы 27 рублей”. Докажите, что Федя не прав.

11.

Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася. Как Пете добиться того, чтобы итоговое число делилось на 9 независимо от ходов Васи?

12.

В первенстве по футболу участвует 8 команд. Каждая команда играет с каждой один матч. Команда Меркурий набрала 19 очков, а команда Уран 18. Каков результат матча Меркурий-Уран (ничья, победил Уран, победил Меркурий)? Известно, что за победу присуждается 3 очка, за ничью 1 очко, а за поражение 0 очков.

13.

Петя забыл последние 3 цифры телефонного номера, но помнит, что все цифры различны и среди них одна девятка. Какое максимальное число номеров ему придется набрать, чтобы попасть по нужному номеру?

14.

В клетках квадратной таблицы 3 × 3 расставлены числа 1, 2, 3, …, 9 так, что сумма каждых четырех чисел, заполняющих квадрат 2 × 2, равна одному и тому же числу S. Найдите все возможные значения S.

15.

Масса ста гирек, сваленных в одну кучу, составляет 500 г. Известно, что имеются только гирьки в 1г, 10г, 50г. Сколько в кучке гирек каждой массы? Ответ пояснить.

16.

Можно ли в ряду чисел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 так расставить во всех промежутках между числами знаки “+” и “–”, чтобы в результате получился 0?

17.

Ученики 7 класса решали две задачи. В конце занятия преподаватель составил четыре списка: I –решивших первую задачу, II – решивших только одну задачу, III – решивших по меньшей мере одну задачу, IV – решивших обе задачи. Какой из списков самый длинный?

18.

Пусть a, b, c — три цифры, отличные от нуля. Из них составили шесть различных чисел, в каждом из которых каждая из этих цифр встречается только один раз. “Крайним” из этих шести чисел называют наибольшее или наименьшее из них. Число – не “крайнее”. Укажите еще одно не “крайнее” число. Ответ обоснуйте.

19.

Часы, которые отстают на одну минуту в сутки, в данный момент показывают точное время. Когда они покажут точное время в следующий раз?

20.

Даны две параллельные прямые. На каждой прямой отмечено по четыре точки. Сколько можно построить треугольников с вершинами в этих точках?

21.

Петя считает пальцы на левой руке от большого до мизинца и обратно от мизинца до большого. Каждый следующий счет приходится на другой палец. На какой палец придется число 1998?

22.

Все жители волшебного острова – либо рыцари, говорящие только правду, либо плуты, которые всегда лгут. Посетивший остров мудрец встретил двух жителей, А и Б, и захотел узнать, кто они. Он спросил у А: "Вы оба рыцари?" А ответил. Мудрец понял, что он не может определить, кто такие А и Б, и задал еще один вопрос: "Вы одного типа?" А опять ответил, и мудрец понял, к какому типу относятся А и Б. К какому же?

23.

На какое наибольшее число частей могут делить плоскость пять прямых?

24.

На празднике конфет можно было обменять любые три фантика на карамельку в фантике, и любые пять фантиков – на шоколадную конфету в фантике. Миша принес на этот праздник 50 конфет. Сможет ли он съесть 5 шоколадных конфет и 15 карамелек?

25.

В одной рукописи приведено описание города, расположенного на 8 островах. Острова между собой и с материком соединены мостами. На материк выходят 5 мостов; на четырех островах берут начало по 4 моста; на трех островах берут начало по 3 моста и на один остров можно пройти только по одному мосту. Могут ли так располагаться мосты?