Весна 2002 года (24)

11.

Найдите наибольший общий делитель всех четырехзначных чисел, записанных при помощи цифр 3, 4, 5, 6.

12.

Можно ли равносторонний треугольник разрезать на:
а) 4; б) 6; в) 7; г) 8
равносторонних треугольников (не обязательно равных друг другу)?

д) Покажите, как разрезать равносторонний треугольник на любое количество равносторонних треугольников (не обязательно равных между собой), начиная с 9.

13.

Как заменить все звездочки на рисунке 10 нечетными цифрами, чтобы получился верный пример на умножение?

Найдите все варианты ответа и докажите, что других нет.

14.

Верно ли, что из любых 100 целых чисел можно выбрать два числа, сумма которых делится на 37?

15.

Бился Иван–Царевич со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста – вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван - Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты?

16.

Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих денег (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго – 33. Сколько монет было у первого пирата до игры?

17.

Число 11…1 записано при помощи n единиц. При каких n это число делится на 41?

18.

Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше, чем Алик, собрал грибов Вася?

19.

Можно ли расставить числа от 1 до 17 по кругу так, чтобы любые два соседних числа давали в сумме простое число? (Если можно – приведите пример, если нет – объясните, почему.)

20.

Можно ли прямоугольник размером 35 ´ 23 разрезать на прямоугольники размером 5 ´ 7?
(Если можно – приведите пример, если нет – объясните, почему.)