Математическая регата (12)

1.

Положительные числа а, b и c удовлетворяют соотношению

a + bc = (a + b)(a + c).

Докажите, что эти числа также удовлетворяют соотношению

b + ac = (b + a)(b + c).

2.

В треугольнике АВС: AB = 2, ÐA = 60°, ÐB = 70°. На стороне АС взята такая точка D, что AD = 1. Найдите углы треугольника DBC.

3.

За столом сидят пять человек, каждый из которых является либо рыцарем, либо лжецом. Каждый из них утверждает: “Мои соседи слева и справа — оба лжецы”. Сколько лжецов сидит за столом?

4.

Имеются два квадратных трёхчлена x² + px + q и x² + mx + n, причём корнями первого трехчлена являются числа m и n, а корнями второго — числа p и q. Какое значение принимает сумма этих трёхчленов при x = 2?

5.

Длины сторон треугольника — последовательные натуральные числа. Найдите их, если известно, что одна из медиан треугольника перпендикулярна одной из его биссектрис.

6.

Четыре велосипедиста стартовали одновременно, а финишировали один за другим через равные промежутки времени. Скорости самого быстрого и самого медленного из велосипедистов равны V₁ и V₄ соответственно. Найдите скорости второго и третьего велосипедистов.

7.

Известно, что a² + b² = 1 и с² + d² = 1. Может ли оказаться, что ac + bd > 1?

8.

Пусть A и B — фиксированные точки на плоскости. Укажите геометрическое место точек M этой плоскости, для которых угол ABM — средний по величине в треугольнике AMB.

9.

В регате, состоящей из шести заплывов с препятствиями, изначально стартовали 100 кораблей. В каждом заплыве с первого по пятый тонуло столько кораблей, сколько доплывало до конца следующего заплыва. Сколько кораблей достигли финиша в последнем заплыве?

10.

Сколько простых чисел содержится в последовательности

101, 10101, 1010101, ...?