Высшая лига и лига 9 классов (8)

1.

Докажите, что для любых положительных чисел a, b и c выполняется неравенство:

a(b + c)² + b(c + a)² + c(a + b)² < (a + b + c)³ / 2.

2.

В ряд выписаны числа от 1 до 50 в некотором порядке. Разрешается менять местами два числа, если разность номеров их позиций равна наибольшему общему делителю этих чисел. Можно ли такими операциями получить произвольное расположение чисел?

3.

Натуральные числа от 1 до 22 записаны в такой последовательности a₁, a₂, …, a₂₂, что

.

Чему равна сумма ?

4.

Натуральное число n называется приятным, если каждый выпуклый
n-угольник обладает свойством: “Среди углов n-угольника найдутся три, градусные меры которых численно равны сторонам некоторого треугольника”. Найдите наименьшее приятное число.

5.

В треугольник ABC вписана окружность с центром O, которая касается сторон BC, CA, AB соответственно в точках A₁, B₁, C_1. Отрезки AO, BO, CO пересекают окружность в точках A₂, B₂, C₂. Докажите, что площадь треугольника A₂B₂C₂ равна половине площади шестиугольника B₁A₂C₁B₂A₁C₂.

6.

По окружности расставлены в некотором порядке натуральные числа от 1 до n. Для каждой пары соседних чисел вычисляется их произведение. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих произведений?

7.

Два квадрата 10 ´ 10 одинаково раскрашены в 3 цвета, причем никакие две соседние (по стороне) клетки не покрашены в один цвет. Каждый квадрат разрезали произвольным образом на прямоугольники 2 ´ 1. Из частей одного квадрата составили новый квадрат 10 ´ 10. Всегда ли из частей второго квадрата можно составить квадрат, окрашенный таким же образом?

8.

На доску размером 11 ´ 11 клеток положили несколько квадратов размером 2 ´ 2 клетки так, что каждый квадрат закрывает 4 клетки и любые два квадрата пересекаются не более чем по одной клетке. Какое наибольшее число квадратов могли положить?