Вторая лига (8)

1.

Имеется 6 одинаковых по виду гирек с массой 1, 2, 3, 4, 5, 6 граммов. На гирьках сделали надписи "1", "2", "3", "4", "5", "6". Можно ли за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, что надписи сделаны без ошибок?

2.

На плоскости дан равносторонний треугольник и точка внутри него. Эту точку несколько раз последовательно отражают относительно прямых, содержащих стороны треугольника, причем в конце точка вновь оказывается внутри треугольника. Докажите, что она попадет на исходное место.

3.

По окружности расставлены целые числа, причем квадрат любого числа является делителем суммы квадратов соседей. Докажите, что все числа равны.

4.

В четырехугольнике ABCD AB = AD и CB = CD, ÐBAD = 120°, ÐBCD = 60°. На стороне BC выбрана точка M, а на стороне CD — точка N, так что MN касается окружности с центром в точке A радиуса AB. Докажите, что диагональ BD делит площадь треугольника AMN в отношении 1 : 3.

5.

В треугольнике ABC проведена медиана AK, а в треугольниках AKB и AKC провели биссектрисы KL и KM. Докажите, что прямые LM и BC параллельны.

6.

Найдется ли 8 натуральных чисел таких, что никакое из них не делится ни на какое другое, однако НОК любых двух из них равен одному и тому же числу?

7.

В кубике покрашено n ребер, но неизвестно какие. При каком наименьшем n можно гарантировать, что найдется грань с четырьмя окрашенными ребрами?

8.

Пусть a, b и c — различные положительные числа такие, что a², b² и c² — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа 1/(b + c), 1/(c + a), 1/(a + b) также образуют арифметическую прогрессию.