Осень 2000 года (25)

21.

Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки. Первый мудрец взял себе три карточки, второй — две, а оставшиеся они не глядя убрали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!»

а) Приведите набор чисел, которые могли быть на карточках первого мудреца.

б) Докажите, что другого набора быть не может.

22.

Дан числовой ребус УДАР + УДАР = ДРАКА. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, а разные — разным.

а) Найти одно решение ребуса.

б) Найти все решения этого ребуса и доказать, что других решений нет.

23.

Дан кубик 1 × 1 × 1. Можно ли его оклеить полоской 1 × 12 в два слоя без разрывов?

24.

Пол в душевой комнате площадью 41 м² устлан тремя одинаковыми коврами, каждый площадью 19 м². Любые два ковра пересекаются по площади 7 м². Сколько квадратных метров комнаты покрыты всеми тремя коврами?

25.

В кружочки расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы суммы чисел, стоящих на одной прямой, были равны (в каждой сумме по три числа).
а) Найти одну такую расстановку.
б) Найти все значения, которые может принимать сумма.
в) Сколькими способами можно расставить числа в кружочки, чтобы суммы были равны? (способы считаются разными, если внешне картинки выглядят по-разному)?