Весна 2000 года (25)

1.

У Незнайки имеются электронные часы, на которых высвечиваются часы и минуты (от 00.00 до 23.59). Незнайка в течение дня делает зарядку в том и только в том случае, если сумма чисел, обозначающих часы и минуты на часах, равна 65. Сколько времени в сутки Незнайка делает зарядку?

2.

Можно ли плоскость замостить малыми (1 × 1) и большими (99 × 99) квадратами так, чтобы к каждому малому квадрату примыкало ровно четыре больших квадрата?

3.

Малышу 1 января 1999 года подарили мешок шоколадных конфет, в котором было 222 конфеты. Каждый день Малыш съедал одну конфету. По воскресеньям к нему прилетал Карлсон, и Малыш угощал его парой конфет. Сколько конфет съел Карлсон? (1 января 1999 года — пятница).

4.

На столе лежали три стопки одинаковых монет из 19 монет, 23 монет и 29 монет. В одной из них одну монету заменили монетой другого веса, внешне не отличающейся от остальных. Как при помощи чашечных весов без гирь за одно взвешивание найти стопку, в которой все монеты одинаковые.

5.

В записи * 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 27 вместо знаков «*» поставить знаки «+» или «–» так, чтобы равенство стало верным.

6.

В клетках таблицы 6 × 8 (6 строк и 8 столбцов) расставлены шашки, причем в каждой строке стоит не более трех шашек, а в каждом столбце не менее двух. Сколько шашек может стоять на доске?

7.

Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в разные стороны. Через 5 минут Вася решил помириться и стал догонять Петю, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю?

8.

Катя, Саша и Дима пошли на бал-маскарад. После бала их спросили: мальчик он или девочка? Было дано два ответа «мальчик» и один «девочка». Известно, что один из них соврал. Как полное имя Саши?

9.

На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных — по две точки, и на двух оставшихся — по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2 × 2 × 2. Чему равно суммарное число точек на всех его шести гранях?

10.

Можно ли фигуру, изображенную на рисунке 4, разрезать на 3 части, каждая из которых содержит ровно 7 клеток?

11.

Можно ли в числах 2*8*, 38*7, 2*1*, 29*1 заменить звездочки шестью различными цифрами так, что сумма первых двух чисел будет равна сумме двух последних чисел?

12.

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, на которых можно узнать вес любых двух яблок. Как за 8 взвешиваний узнать суммарный вес всех яблок?

13.

Чип и Дейл пытаются заполнить таблицу 3 × 3 различными натуральными числами, не превышающими 36, так, что из любых двух чисел, стоящих в соседних клетках, одно делится нацело на другое. При этом в центральной клетке уже поставлено число 12. Помогите им это сделать. (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону).

14.

На полу квадратной комнаты в противоположных углах лежат два одинаковых квадратных ковра. Известно, что четверть площади пола покрыта коврами в два слоя. Какую часть площади пола занимает один ковер?

15.

Квадрат 5 × 5 покрывают полосками 1 × 2 так, что каждая клетка полоски покрывает клетку квадрата. Можно ли положить несколько полосок так, чтобы каждая клетка квадрата была накрыта ровно 5 раз?

16.

Два игрока в регби стартуют одновременно по двум стометровым дорожкам. Вначале у одного из них есть мяч. Игроки могут перекидывать мяч друг другу. Игрок с мячом бежит со скоростью 4 м/с, игрок без мяча — 5м/с, а мяч летит 5 секунд, а пока он летит, принимающий игрок снижает скорость до 2м/с. Как игрокам перекидывать мяч, чтобы финишировать одновременно?

17.

Можно ли плоскость замостить малыми (2 × 2) и большими (99 × 99) квадратами так, чтобы к каждому малому квадрату примыкало ровно два больших?

18.

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размером 57 × 91 клеток и проведена его диагональ. Сколько квадратиков размера 1 × 1 она пересекает?

19.

Как вершины 2001-угольной призмы можно раскрасить тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана ребрами с вершинами всех трех цветов. (Пример 5-угольной призмы показан на рисунке 9.)

20.

Прямоугольную плитку размером 19 × 96 обвели карандашом. Найдите центр полученного прямоугольника, имея только эту плитку и карандаш.

21.

В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений оказалось полностью свободными. В следующий раз сидели 10 человек, а свободных сидений осталось 6. Сколько сидений в автобусе?

22.

Ваня решил нумеровать дни по-своему, и теперь после четвертого числа у него всегда идет первое: 1, 2, 3, 4, 1, 2, … Однажды с календарем у него совпало третье число, а ровно через месяц — снова совпало. В какой день оно совпадет снова?

23.

Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на 3 части, из которых можно сложить квадрат 5 × 5.

24.

Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? Если переходят двое, то оба идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)

25.

Как в вершинах куба расставить натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?