1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М761 - М780 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M761

Через произвольную точку Р на стороне АС треугольника АВС параллельно его медианам АK и СL проведены прямые, пересекающие стороны ВС и АВ в точках Е и F соответственно (показано на рисунке).

Докажите, что медианы АK и СL делят отрезок ЕF на три одинаковые части.

 18 Января 2004     21:31 

2.

M762

Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c выполнены неравенства

 18 Января 2004     21:32 

3.

M763*

Дан параллелограмм АВСD, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой АВ относительно диагонали АС, пересекает в точке Q прямую, симметричную прямой относительно диагонали (показано на рисунке).

Найдите отношение QA : QD, если известно отношение AC : BD = k.

 18 Января 2004     21:33 

4.

M764

Докажите, что каждое из уравнений

а) x2 + y3 = z5;

б) x2 + y3 + z5 = t7

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

 18 Января 2004     21:35 

5.

M765

Пусть B — конечное множество точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

а) Докажите, что найдутся три точки множества B такие, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других точек множества B.

б)* Назовем триангуляцией множества B семейство треугольников с множеством вершин B, не налегающих друг на друга и в объединении дающих выпуклый многоугольник (триангуляцию множества B можно получить, соединяя его точки непересекающимися отрезками, пока это возможно). Докажите, что для любого B существует такая триангуляция, что окружность, описанная около любого треугольника этой триангуляции, не содержит внутри себя точек множества B. Укажите способ построения такой триангуляции.

в)* Докажите, что если никакие четыре точки множества B не лежат на одной окружности, то описанная в пункте б) триангуляция единственна.

 18 Января 2004     21:35 

6.

M766

Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.

 18 Января 2004     21:36 

7.

M767

а) Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что отношение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превосходит 1 +  (показано на рисунке a).

б) Каждая из трех прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключенной в треугольнике между тремя прямыми, не превосходит 1/4 всей площади фигуры (показано на рисунке б).

 18 Января 2004     21:37 

8.

M768*

Сумма n чисел, каждое из которых не превосходит по модулю 1, равно s. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от s/3 не более чем на 1/3.

 18 Января 2004     21:38 

9.

M769*

Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке L, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках A1, B1, C1 (показано на рисунке). Пусть R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности треугольника АВС. Докажите равенства

а) ;

б) ;

в) .

 18 Января 2004     21:39 

10.

M770*

В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник АВС. Докажите, что если углы PAB, PBC, PCA равны, то пирамида PABC — правильная.

 18 Января 2004     21:40 
Задач на странице:  5  10  25