М761 - М780 (20)

1.

M761

Через произвольную точку Р на стороне АС треугольника АВС параллельно его медианам АK и СL проведены прямые, пересекающие стороны ВС и АВ в точках Е и F соответственно (показано на рисунке).

Докажите, что медианы АK и СL делят отрезок ЕF на три одинаковые части.

2.

M762

Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c выполнены неравенства

3.

M763*

Дан параллелограмм АВСD, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой АВ относительно диагонали АС, пересекает в точке Q прямую, симметричную прямой DС относительно диагонали DВ (показано на рисунке).

Найдите отношение QA : QD, если известно отношение AC : BD = k.

4.

M764

Докажите, что каждое из уравнений

а) x² + y³ = z⁵;

б) x² + y³ + z⁵ = t⁷

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

5.

M765

Пусть B — конечное множество точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

а) Докажите, что найдутся три точки множества B такие, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других точек множества B.

б)* Назовем триангуляцией множества B семейство треугольников с множеством вершин B, не налегающих друг на друга и в объединении дающих выпуклый многоугольник (триангуляцию множества B можно получить, соединяя его точки непересекающимися отрезками, пока это возможно). Докажите, что для любого B существует такая триангуляция, что окружность, описанная около любого треугольника этой триангуляции, не содержит внутри себя точек множества B. Укажите способ построения такой триангуляции.

в)* Докажите, что если никакие четыре точки множества B не лежат на одной окружности, то описанная в пункте б) триангуляция единственна.

6.

M766

Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.

7.

M767

а) Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что отношение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превосходит 1 +  (показано на рисунке a).

б) Каждая из трех прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключенной в треугольнике между тремя прямыми, не превосходит 1/4 всей площади фигуры (показано на рисунке б).

8.

M768*

Сумма n чисел, каждое из которых не превосходит по модулю 1, равно s. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от s/3 не более чем на 1/3.

9.

M769*

Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке L, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках A₁, B₁, C₁ (показано на рисунке). Пусть R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности треугольника АВС. Докажите равенства

а) ;

б) ;

в) .

10.

M770*

В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник АВС. Докажите, что если углы PAB, PBC, PCA равны, то пирамида PABC — правильная.

11.

M771

В треугольнике АВС проведена биссектриса АK. Известно, что центры окружностей: вписанной в треугольник АВK и описанной около треугольника АВС — совпадают. Найдите углы треугольника АВС.

12.

M772

В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 1000 рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трех из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может одновременно работать только на одном станке.

13.

M773

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, ВС и АС в точках M, N и P соответственно. Известно, что . Докажите, что треугольник АВС — правильный.

14.

M774

Функция f(x), определенная на отрезке [0; 1], такова, что

(1)  f(0) = f(1) = 0

и

(2)  

для всех x, y Î [0; 1]. Докажите, что

а) f(x) ³ 0 при всех x Î [0; 1];

б) f(x) имеет бесконечно много нулей на отрезке [0; 1];

в) если существует такое число А ³ 0, что для всех x Î [0; 1/2] выполнено неравенство f(x) £ А, то f(x) £ А для каждого x Î [0; 1];

г)* если функция f(x) непрерывна хотя бы в одной точке x₀ отрезка [0; 1], то f(x) = 0 для всех x Î [0; 1];

д)* существуют функции f(x), удовлетворяющие условиям (1), (2), не равные тождественно нулю.

15.

M775

При каких натуральных n ³ 3 существуют различные натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n такие, что 1 £ a_k £ n + 1 для любого k = 1, 2, ..., n и все n чисел ½a₁ - a₂½, ½a₂ - a₃½, ..., ½a_n-1 - a_n½, ½a_n - a₁½ различны?

16.

M776

На диагоналях АС и СЕ правильного шестиугольника АВСDЕF взяты точки M и N соответственно, такие что
.

Известно, что точки B, M, N лежат на одной прямой. Найдите λ.

17.

M777

Дано уравнение x³ - xy² + y³ = n. Докажите, что

а) если натуральное n таково, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по крайней мере три целочисленных решения;

б) при n = 2891 это уравнение не имеет целочисленных решений.

18.

M778*

Дан неравнобедренный треугольник A₁A₂A₃. Пусть a_i — его сторона, лежащая против вершины A_i (i = 1, 2, 3), M_i — середина стороны , T_i — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный треугольник, и S_i — точка, симметричная T_i относительно биссектрисы угла A_i треугольника.

Докажите, что прямые M₁S₁, M₂S₂ и M₃S₃ имеют общую точку.

19.

M779*

Рассматриваются последовательности (x_n) положительных чисел, удовлетворяющие условию
1 = x₀ ³ x₁ ³ x₂ ³ ... ³ x_n³ ...

а) Докажите, что для любой такой последовательности (x_n) существует n, при котором
.

б) Найдите такую последовательность (x_n), удовлетворяющую указанному условию, для которой при любом n
.

20.

M780*

Дан квадрат K со стороной 100. Пусть L — несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в K, такая, что для любой точки Р границы квадрата K найдется точка ломаной L, расстояние которой от Р не больше 1/2. Докажите, что на ломаной найдутся две точки X и Y, расстояние между которыми не более 1, такие, что длина части ломаной, заключенной между ними, не меньше 198.