М741 - М760 (20)

1.

M741

а) Найдите хотя бы одно натуральное число, которое делится на 30 и имеет ровно 30 различных делителей (включая 1 и само число).

б) Укажите все такие числа.

2.

M742

На а) окружности, б) сфере радиусом 1 расположены n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше n².

3.

M743

В стране N городов.

а) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками).

б) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом, поездом или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее N/2 городов и один из трех видов транспорта так, что, пользуясь им одним, из любого выбранного города можно попасть в любой другой выбранный город.

в) Приведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число N/2 большим, вообще говоря, нельзя.

4.

M744*

В треугольник АВС вписан подобный ему треугольник А₁В₁С₁ (вершины А₁, В₁, С₁ углов, равных по величине ÐА, ÐB, ÐC, лежат соответственно на отрезках ВС, СА и АВ). Пусть А₀, В₀, С₀ — точки пересечения прямых BВ₁ и CС₁, АA₁ и CС₁, BB₁ и AA₁. Докажите, что шесть окружностей, описанных около треугольников АВС₀, ВСA₀, АСB₀, А₁В₁С₀, А₁В₁С₀, А₁В₁С₀, пересекаются в одной точке.

5.

M745*

а) Задана последовательность чисел (d_n) таких, что ½d_n½£1 (n = 1, 2, ...). Докажите, что можно выбрать последовательность (s_n) из чисел +1 и -1 так, что для всех n выполняется неравенство ½d₁s₁ + d₂s₂ +...+ d_ns_n½£1.

б) Задана последовательность троек чисел (a_n, b_n, c_n) таких, что ½a_n½£1, ½b_n½£1, ½c_n½£1, и a_n + b_n + c_n = 0 (n = 1, 2, ...). По ней строится новая последовательность троек (x_n, y_n, z_n), в которой x_n = y_n = z_n = 0 , а каждая тройка (x_n, y_n, z_n) при n³1 получается из предыдущей (x_n-1, y_n-1, z_n-1) путем прибавления к x_n-1 одного из чисел по нашему выбору, к y_n-1 – другого, к z_n-1 - третьего. Можем ли мы всегда добиться того, что все числа x_n, y_n, z_n будут по абсолютной величине не больше 1 или хотя бы ограничены некоторой константой?

в) Выясните аналогичные вопросы для последовательностей четверок чисел.