М741 - М760 (20)

6.

M746

Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой l, проходящей через его центр, в (невыпуклый) девятиугольник. Как нужно провести прямую l, чтобы:

а) полученный девятиугольник имел наибольшую площадь?

б)* в нем помещалась окружность наибольшего возможного радиуса (показано на рисунке)?

7.

M747

а) Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

б)* Внутри выпуклого n-угольника А₁A₂A₃...A_n выбрана точка O так, что сумма векторов равна нулевому вектору, а сумма их длин равна d. Докажите, что периметр этого n-угольника не меньше 4d/n.

в)* Можно ли улучшить эту оценку (при некоторых n)?

8.

M748

а) Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость? (Внутренней областью параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которой служит эта парабола — см. рисунок)

б)* В пространстве расположено несколько непересекающихся конусов. Докажите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли все пространство. (Конусом мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате вращения некоторого угла вокруг его биссектрисы.)

9.

M749*

а) Докажите, что если x₁, x₂, x₃ — положительные числа, то
;
при каких условиях это неравенство превращается в равенство?

б) Докажите, что если x₁, x₂, ..., x_n — положительные числа, то
;
причем равенство возможно только при n = 4.

в) Докажите, что при n > 4 неравенство пункта б) является точным в том смысле, что ни при каком n число 2 в правой части нельзя заменить на большее.

10.

M750

Докажите, что как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в N цветов, найдутся

а) прямоугольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета (а стороны идут параллельно линиям сетки — по горизонтальным и вертикальным прямым — см. рисунок а);

б) l горизонтальных и m вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах lm клеток одного цвета (l и m — любые натуральные числа — см. рисунок б);

в) равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при N = 2 (показано на рисунке в);

г)* то же для N = 3.