8-9 класс (8)

1.

Из пунктов A и B не одновременно выехали навстречу друг другу автомобилист и велосипедист. Встретившись в точке C, они тотчас развернулись и поехали обратно (с теми же скоростями). Доехав до своих пунктов A и B, они опять развернулись и второй раз встретились в точке D; здесь они вновь развернулись и так далее. В какой точке отрезка AB произойдет их 1978-я встреча?

2.

Имеется две группы по n гирь, в каждой из которых гири расположены в порядке возрастания их масс. Докажите, что 2n – 1 взвешиваниями можно расположить и все 2n гирь в порядке возрастания их масс.

3.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Доказать, что найдется прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

4.

Доказать, что если произведение трех положительных чисел равно единице, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше единицы.

5.

В равноугольном пятиугольнике ABCDE проведены серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD. Докажите, что точка их пересечения лежит на биссектрисе угла E.

6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке E. Через концы боковой стороны AB и точку E проведена окружность с центром O. Докажите, что OE перпендикулярна CD.

7.

Кузя разрезал выпуклый бумажный 67-угольник по прямой на два, затем так же разрезал один из двух получившихся, затем — один из трех получившихся и т.д. В итоге у него получилось восемь n-угольников. Чему равно n?

8.

Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Доказать, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.