M661 - M680 (20)

16.

M676

Докажите, что для любого натурального n сумма цифр числа 1981^m не меньше 19.

17.

M677

Внутри остроугольного треугольника АВС выбрана точка M, являющаяся
а) точкой пересечения медиан;
б) точкой пересечения биссектрис;
в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АМВ, МВС, АМС, равны, то треугольник АВС — правильный.

18.

M679

а) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке B, третий — четвертого в точке C, а четвертый — первого в точке D . (показано на рисунке). Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

б) В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке В, третий — четвертого в точке С. а четвертый — первого в точке D. Докажите, что четыре названные точки лежат в одной плоскости.

в) Докажите, что в условиях предыдущей задачи эти четыре точки лежат на одной окружности или на одной прямой.

19.

M680*

Два связиста играют в такую игру. Имеются n телефонных узлов, и связисты по очереди соединяют кабелем два из них по своему выбору. Выигрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежуточных; начало игры изображено на рисунке 3).

а) Выясните, кто выигрывает при n = 4, 5, 6, 7, 8 — начинающий или его партнер?

б) Каков ответ при произвольном n?

в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигрывает. Ответьте на вопросы пунктов а) и б) для этой новой игры.

г) Пусть вначале все узлы попарно связаны кабелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связь в схеме, проигрывает. Вопрос тот же: кто выигрывает при правильной стратегии для n = 4, 5, 6, 7, 8? А для произвольного n?

Замечание. Можно было бы рассмотреть четвертый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связь, выигрывает. Полное исследование этого варианта игры неизвестно.

20.

M678

2m-значное число называется справедливым, если его четные разряды содержат столько же четных цифр, сколько и нечетные. Докажите, что в любом (2m + 1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2m-значное число было справедливым (показано на рисунке).