M661 - M680 (20)

11.

M671

Во вписанном четырехугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырехугольника.

12.

M672

Пусть a — натуральное число такое, что 2^a - 2 делится на a (например, a = 3). Определим последовательность (x_n) условиями x₁ = a, x_k+1 = 2^x_k - 1. Докажите, что делится на при любом k.

13.

M673

На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист выбирает одну из них и бьет по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.

а) Покажите, как после пяти ударов шайба C сможет вернуться на свое место, а шайбы A и B поменяться местами.

б) Могут ли все три шайбы A, B и C вернуться на свои прежние места после 25 ударов?

14.

M674

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ соответственно. Известно, что центр описанной около треугольника ABC окружности совпадает с точкой пересечения высот треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

15.

M675*

Системой разновесов называется совокупность натуральных чисел, из которой нельзя извлечь два различных набора с одинаковой суммой (например, числа 24, 23, 22, 20, 17, 11 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 не образуют: 2 + 3 + 4 = 1 + 8). Докажите, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов из
а) 10 чисел,
б) 11 чисел.
в) Докажите, что 14 чисел из них выбрать нельзя.
г) Докажите, что если числа образуют систему разновесов, то сумма их обратных величин не превосходит 5/2.
д) Выберите из чисел, меньших 700, систему разновесов из 11 чисел.