M661 - M680 (20)

6.

M666

Докажите, что наименьшее общее кратное n натуральных чисел a₁ < a₂ < ... < a_n не меньше na₁.

7.

M667

Постройте треугольник AВС, если заданы его наименьший угол A и отрезки с длинами d = AB – BC и e  = AC – BC.

8.

M668

Последовательность (x_i) определяется условиями x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 2, x_n+1 = x_n-2+2x_n-1. Докажите, что для любого натурального m найдутся два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на m.

9.

M669

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что
а) отрезок, соединяющий середины дуг AB и CD, перпендикулярен отрезку, соединяющему середины дуг BC и AD;
б) центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDA и DAB, являются вершинами прямоугольника.

10.

M670*

а) Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечетно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит одновременное перекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соседей имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняется. Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точек цвет не будет меняться, а у некоторых будет меняться каждую минуту.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагать, что у каждой точки число соседей нечетно?