1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

M661 - M680 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M661

На берегу круглого озера четыре пристани K, L, P, Q. От пристани K отплывает катер, от L — лодка. Если катер поплывет прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если катер поплывет в Q, а лодка в P, то они достигнут этих пристаней одновременно.

 13 Января 2004     19:49 

2.

M662

В копилке собрано четыре рубля медными монетами (по 1, 3 и 5 копеек). Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.

 13 Января 2004     19:49 

3.

M663

Найдите все простые числа p, для которых число 2p + p2 — тоже простое.

 13 Января 2004     19:49 

4.

M664

Дан четырехугольник ABCD площадью S. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA, DAB через N, K, L, M соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника NKLM тоже равна S.

 13 Января 2004     19:50 

5.

M665

Световое табло состоит из нескольких лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора лампочек (для каждой кнопки — своего). Вначале лампочки не горят.

а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки.

б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из m×n лампочек, расположенных в форме прямоугольника, если кнопками можно переключить каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд лампочек (проверьте ваш ответ для небольших значений m, n)?

в) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.

 13 Января 2004     19:50 

6.

M666

Докажите, что наименьшее общее кратное n натуральных чисел a1 < a2 < ... < an не меньше na1.

 13 Января 2004     19:51 

7.

M667

Постройте треугольник AВС, если заданы его наименьший угол A и отрезки с длинами d = AB – BC и e  = AC – BC.

 13 Января 2004     19:51 

8.

M668

Последовательность (xi) определяется условиями x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2, xn+1 = xn-2+2xn-1. Докажите, что для любого натурального m найдутся два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на m.

 13 Января 2004     19:52 

9.

M669

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что
а) отрезок, соединяющий середины дуг AB и CD, перпендикулярен отрезку, соединяющему середины дуг BC и AD;
б) центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDA и DAB, являются вершинами прямоугольника.

 13 Января 2004     19:52 

10.

M670*

а) Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечетно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит одновременное перекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соседей имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняется. Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точек цвет не будет меняться, а у некоторых будет меняться каждую минуту.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагать, что у каждой точки число соседей нечетно?

 13 Января 2004     19:53 
Задач на странице:  5  10  25