1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М1861 - М1880 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

М1861

Точки в количестве 2n + 1 разделили окружность на 2n + 1 равных дуг, где n > 1. Среди этих точек n + 1 — красные. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с красными вершинами.

 13 Января 2004     22:08 

2.

М1862

Биссектрисы AD, BE и CF треугольника АВС пересекаются в точке I. Докажите, что

а) если ID = IF = IE, то треугольник АВС правильный;

б) если треугольник DFE правильный, то и треугольник АВС правильный.

 13 Января 2004     22:09 

3.

М1863*

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член — наименьшее натуральное число, которое ещё не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

 13 Января 2004     22:09 

4.

М1865*

Для натурального числа N = 6 можно указать натуральное число М = 460100021743857360295716, обладающее следующими свойствами:
1) первые цифры числа М представляют собой число N;
2) если эти первые цифры перенести в конец числа M, то (отбросив при необходимости первые нули, получим число М1 = 10002174385736029571646, которое ровно в N раз меньше числа М.

Для каких ещё натуральных N существует число М, обладающее такими же свойствами?

 13 Января 2004     22:10 

5.

М1866

Остров разделён на княжества, каждое из которых представляет собой на карте острова параллелограмм. При этом любые два параллелограмма либо не имеют общего участка границы, либо в качестве общего участка границы имеют общую сторону. Докажите, что для правильной раскраски карты острова достаточно трёх красок. (Раскраска правильная, если любые два княжества, имеющие общий участок границы, закрашены в разные цвета).

 13 Января 2004     22:10 

6.

М1867*

Пусть М — множество членов некоторой геометрической прогрессии. Каково наибольшее возможное число элементов в пересечении множества М с множеством
а) ;
б) ?

 13 Января 2004     22:10 

7.

М1870

а) На плоскости даны точки A, B, C, D общего положения (то есть никакие три из них не лежат на одной прямой). Известно. что углы между прямыми АВ и CD, AC и BD, AD и ВС равны. Докажите, что они прямые.

б) Углы между противоположными рёбрами тетраэдра равны. Верно ли, что они прямые?

 13 Января 2004     22:11 

8.

М1871

За круглым столом 35 гостей уселись пить чай. Им выдали 10 литровых и 25 пол-литровых кружек. Каждому принесли пол-литровый чайник с чаем. Гость может вылить содержимое чайника себе или одному из своих соседей. Гости согласны пить только из полной кружки. Какое наибольшее число гостей может напиться чаю?

 13 Января 2004     22:12 

9.

М1872

Большой прямоугольник разрезан на прямоугольники, у каждого из которых имеется сторона, принадлежащая границе большого прямоугольника. Докажите, что найдутся два прямоугольника с общей стороной.

 13 Января 2004     22:12 

10.

М1873

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

 13 Января 2004     22:13 
Задач на странице:  5  10  25