М1861 - М1880 (20)

1.

М1861

Точки в количестве 2n + 1 разделили окружность на 2n + 1 равных дуг, где n > 1. Среди этих точек n + 1 — красные. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с красными вершинами.

2.

М1862

Биссектрисы AD, BE и CF треугольника АВС пересекаются в точке I. Докажите, что

а) если ID = IF = IE, то треугольник АВС правильный;

б) если треугольник DFE правильный, то и треугольник АВС правильный.

3.

М1863*

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член — наименьшее натуральное число, которое ещё не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

4.

М1865*

Для натурального числа N = 6 можно указать натуральное число М = 460100021743857360295716, обладающее следующими свойствами:
1) первые цифры числа М представляют собой число N;
2) если эти первые цифры перенести в конец числа M, то (отбросив при необходимости первые нули, получим число М₁ = 10002174385736029571646, которое ровно в N раз меньше числа М.

Для каких ещё натуральных N существует число М, обладающее такими же свойствами?

5.

М1866

Остров разделён на княжества, каждое из которых представляет собой на карте острова параллелограмм. При этом любые два параллелограмма либо не имеют общего участка границы, либо в качестве общего участка границы имеют общую сторону. Докажите, что для правильной раскраски карты острова достаточно трёх красок. (Раскраска правильная, если любые два княжества, имеющие общий участок границы, закрашены в разные цвета).