1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М1841 - М1860 (14)

Страницы:  1  2  » 

1.

М1846

Докажите, что для любого натурального n и любого натурального k £ n выполняется неравенство

 17 Января 2004     23:11 

2.

М1847

В 8 банках сидят 80 пауков. Разрешается выбрать любые две банки, суммарное число пауков в которых чётное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую, чтобы их стало поровну. При любом ли начальном распределении пауков в банках с помощью нескольких таких операций можно добиться того, чтобы в каждой банке оказалось одинаковое число пауков?

 17 Января 2004     23:12 

3.

М1848

В треугольник АВС вписана окружность с центром О, которая касается сторон в точках А1, В1, С1. Отрезки АО, ВО, СО пересекают окружность в точках А2, В2, С2. Докажите, что площадь треугольника А2В2С2. равна половине площади шестиугольника В1А2С1В2А1С2.

 17 Января 2004     23:13 

4.

М1849

Простое число p удовлетворяет равенству p2 = 2n × 3m + 1, где n и m — целые неотрицательные числа. Докажите, что p £ 17.

 17 Января 2004     23:14 

5.

М1850

Числа натурального ряда от 1 до n(n + 1) записаны последовательно красным и синим цветами в следующей очерёдности. Первые n чисел — красные, затем одно — синее, затем n - 1 чисел — красные, затем два — синие и т.д., наконец, одно число — красное и последние n чисел — синие. Таким образом, убывающие по численности группы красных чисел перемежаются с возрастающими по численности группами синих чисел. Докажите, что сумма синих чисел вдвое больше суммы красных чисел.

 17 Января 2004     23:14 

6.

М1852

Дано натуральное число n. В интервале (n2n2 + n) выбраны различные натуральные числа a и b. Докажите, что в этом интервале нет натуральных делителей числа ab, отличающихся от a и b.

 29 Декабря 2003     19:26 

7.

М1853

С числом разрешается производить следующие операции:
1) возвести в любую натуральную степень;
2) отрезать последние две цифры, умножить образованное ими число на 3 и прибавить к числу, образованному остальными цифрами.

Можно ли с помощью таких операций из числа 81 получить число 82?

 29 Декабря 2003     19:23 

8.

М1854*

Пусть f(x) — многочлен степени m ³ 2 с целыми коэффициентами. Докажите, что множество значений многочлена f(x) в целых точках содержит бесконечную геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда f(x) = a(bx + c)m (здесь a, b, c — целые числа, a ≠ 0, b ≠ 0).

 29 Декабря 2003     19:23 

9.

М1855

Плоскости, параллельные граням прямоугольного параллелепипеда, разрезали его на меньшие параллелепипеды, которые окрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Известно, что суммарный объём чёрных равен суммарному объёму белых параллелепипедов. Докажите, что из чёрных параллелепипедов можно составить параллелепипед P, а из белых можно составить параллелепипед Q так, что P и Q будут равны.

 29 Декабря 2003     19:24 

10.

M1856

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его основания АС в точке Е, а боковых сторон — в точках М и К (показано на рисунке). Прямая МК пересекает продолжение основания в точке Р. Докажите, что прямая РО перпендикулярна прямой ВЕ.

 29 Декабря 2003     19:24 
Задач на странице:  5  10  25