Командная олимпиада (10)

1.

Найдите четыре обыкновенные правильные несократимые дроби, знаменатели которых различны, а сумма равна 3.

2.

Ваня решил нумеровать дни по-своему, и теперь после четвертого числа у него всегда идет первое: 1, 2, 3, 4, 1, 2, … Однажды с календарем у него совпало третье число, а ровно через месяц — снова совпало. В какой день оно совпадет снова?

3.

Из прямоугольника 3 ´ 9 вырезали две клетки (на рисунке они темные). Разрежьте оставшуюся фигуру на 3 части, из которых можно сложить квадрат 5 ´ 5.

4.

Сколько натуральных трехзначных чисел, у которых ровно две цифры равны?

5.

Квадрат 5 ´ 5 покрывают полосками 1 ´  2 так, что каждая клетка полоски покрывает клетку квадрата. Можно ли положить несколько полосок так, чтобы каждая клетка квадрата была накрыта ровно 5 раз?

6.

Расставьте в кружочки числа 1, 2, …, 7 так, чтобы суммы любых трех чисел, стоящих на одной проведенной линии, были равны.

7.

Класс, состоящий из 30 человек, во время дискотеки разбился на 5 групп по 6 человек, причем в любых двух группах оказалось разное количество девочек. Для медленного танца учитель захотел выбрать две группы A и Б, чтобы все ребята из группы A танцевали с ребятами из группы Б (девочки — с мальчиками, а мальчики — с девочками). Обязательно ли учитель найдет две такие группы?

8.

Работник показал хозяину 7 гирек, на которых проставлен вес: 1г, 2г, …, 7г. Хозяин поверил, что одна из гирек весит 1г, вторая — 2г, …, седьмая — 7г, но сомневается, правильно ли на них проставлен вес. Имеются чашечные весы, которые показывают разность масс гирек, положенных на чашки. Как за три взвешивания на этих весах хозяин моет проверить, верно ли проставлен вес гирек?

9.

Выписать в ряд числа 1, 2, …, 10 так, чтобы сумма любого количества с начала стоящих чисел делилась на следующее за ними число.

10.

Рома задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Рома?