Первый тур боев (12)

1.

Можно ли по кругу расставить четыре единицы, три двойки и три тройки так, чтобы сумма любых трех подряд стоящих чисел не делилась на три?

2.

Существуют ли такие два натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 110, а наименьшее общее кратное равно 2000?

3.

a) В параллелограмме ABCD биссектриса угла A проходит через середину стороны BC. Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину BC.

b) В параллелограмме ABCD биссектриса угла A проходит через точку E на стороне BC, а биссектриса угла D через точке F стороны BC. Найти длину отрезка EF, если стороны AB и BC параллелограмма равны соответственно a и b.

4.

Делится ли число 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁹⁹⁷ на 3?

5.

Существуют ли действительные числа a, b, c, для которых выполняются равенства
a + b + c = 5,
ab + bc + ac = 13?

6.

В партии КПРФ членов, не являющихся членами НДР, больше членов НДР, не вступивших в ЛДПР. Известно, что людей, состоящих одновременно только в КПРФ и НДР больше, чем состоящих одновременно только в ЛДПР и НДР.
Кого больше: членов КПРФ или членов НДР?

7.

В турнире участвуют 2m команд (m > 2). Каждый тур команды разбиваются на m пар и происходят игры в каждой паре. Докажите, что после двух туров можно выбрать m команд так, что никакие две из них не играли между собой.

8.

Можно ли все натуральные числа от 1 до 9 записать в клетки таблицы 3 ´ 3 так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних (по вертикали или горизонтали) клетках равнялась простому числу?

9.

Как в внутри любого выпуклого четырехугольника указать точку, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника наименьшая?

10.

Найдите наименьшее число, которое при делении на сумму своих цифр дает в остатке 22.

11.

Какое наименьшее число звеньев может иметь замкнутая ломаная, звенья которой пересекают каждый из двенадцати отрезков (рисунок) и не проходят через их концы?

12.

Сколько решений имеет уравнение 19[x] + 98{x} = 1998. ([x] — целая часть числа x, {x} — дробная часть числа x).