1863
358
469
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Вариант боев 4 (10)

Задачи 32-39 составили боле сложный вариант, задачи 32, 33, 35, 37-41 составили менее сложный вариант

Найдите все пары простых чисел (p, q) при которых уравнение

x4 + (q – 2)x = p – 4

имеет, по крайней мере, один целый корень.

Ответ: (2, 5), (2, 11) и (5, 2).

Решение. Рассмотрим три случая.

1) Если p и q — нечетные числа, то значение левой части уравнения будет четным числом, а правой части — нечетным числом, что невозможно.

2) Если p — четное число, то p = 2. Тогда после преобразований уравнение приводится к виду: x×(x3 + q – 2) = –2. Значит, число x — делитель числа –2, то есть x равняется 2, –2, 1 или –1. Этим значениям x соответствуют следующие значения q: –7, 11, –1 и 5. Из них подходят только два, откуда получаются пары (p, q), равные (2, 11) и (2, 5).

3) Если q — четное число, то q = 2. Тогда после преобразований уравнение приводится к виду: ((x – 1)2 + 1)×((x + 1)2 + 1) = p. Значит, один из множителей в левой части равен 1, откуда x равно 1 или –1. В обоих этих случая p = 5. То есть пара (5, 2) — еще одно решение уравнения.

Автор задачи — И. Воронович

 11 Ноября 2003     18:03 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу