358
469
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Вариант боев 4 (10)
Задачи 32-39 составили боле сложный вариант, задачи 32, 33, 35, 37-41 составили менее сложный вариант
Степану Фомичу 23 февраля 2001 года выдали премию: 250 рублей 00 копеек. Он решил, используя эти деньги, заработать больше и купить жене подарок. Для этого, начиная со следующего дня, он стал ежедневно посещать казино, где каждый день либо выигрывал 20 рублей, либо проигрывал ровно половину имеющихся у него денег. Подсчитав свои доходы накануне 8 марта, Степан Фомич выяснил, что остался в выигрыше, но барыш оказался невелик — меньше трех рублей. Сколько именно? |
Решение. Выразим все цены в копейках. В начале сумма денег у Степана Фомича (250 000 копеек) делится на 125. Далее, если перед входом в казино сумма делилась на 125, то в случае выигрыша она также будет делиться на 125, поскольку возрастет на 2 000 (число 2 000 делится на 125). В случае же проигрыша она уменьшится в 2 раза. Так как числа 2 и 125 взаимно простые, то делимость на 125 сохранится. Значит, после каждого дня сумма денег у Степана Фомича делится на 125. Таким образом, итоговое значение также должно делиться на 125. Согласно условию, оно больше 25000, но меньше 25300, то есть равно 25125 или 25250 (либо 251 руб. 25 коп., либо 252 руб. 50 коп.). На период с 24 февраля по 7 марта 2001 года включительно приходится 12 дней. Сумму, равную 252 руб 50 коп, Степан Фомич за 12 дней получить мог:
250 руб. ®
125 руб. ®
145 руб. ®
72 руб. 50 коп. ®
92 руб. 50 коп. ®
Покажем, что 251 руб. 25 коп. Степан Фомич в итоге получить не мог. Допустим обратное. Пусть (для удобства) a = 1,25 руб. Тогда вначале у Степана Фомича было 200a руб, а в конце стало 201a руб, и в случае выигрыша его бюджет возрастал на 16a руб. Рассмотрим, как могло получиться число 200 из числа 201 операциями уменьшения на 16 и умножения на 2. Число 201 при делении на 8 дает остаток 1, а 16 делится на 8, поэтому вычитание 16 на остаток никак не влияет. Ясно, что при первом умножении на 2 значение при делении на 8 даст остаток 2, при втором умножении — остаток 4, после же третьего умножения (и всех последующих) остатка не будет. А поскольку результат (200) делится на 8, то умножений было не меньше трех. С другой стороны, их не могло быть и больше трех, так как после четвертого умножения значение делилось бы на 16, тогда как 200 на 16 не делится. Таким образом, умножений было ровно три. Общее количество посещений казино равно 12 или 13. Значит, уменьшение на 16 происходило 9 или 10 раз. То есть, сумма уменьшалась не менее чем на 16×9 = 144, поэтому не могла быть меньше 200 – 144 = 56. Поэтому при одном умножении на 2 общая сумма увеличивалась не менее чем на 56, а всего за три таких увеличения — не менее чем на 56×3 = 168. То есть в результате всех операций сумма должна увеличиться не менее чем на 168 – 144 = 22, а она увеличилась только на 1. Противоречие. Таким образом, сумма 251 руб 25 коп недостижима. |
Автор задачи — И. Акулич |
11 Ноября 2003 18:02 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|