Вариант боев 3 (8)

Решение. Сначала покажем, что среди чисел x, y, z хотя бы одно четно. Если бы это было не так, то среди x, y, z нашлось бы два числа, дающих одинаковые нечетные остатки (1 или 3) при делении на 4. В обоих случаях произведение этих двух чисел, увеличенное на 1, давало бы остаток 2 при делении на 4, что невозможно.

Допустим теперь, что х четно и дает остаток 2 при делении на 4. Из тождества

(4а + 2)(2b + 1) + 1 = 8ab + 4a + 4b + 3

видно, что числа xy + 1 и xz + 1 могут быть точными квадратами только в том случае, если числа y и z четны (точный квадрат не может давать остаток 3 при делении на 4). Тогда xyz, будучи произведением трех четных чисел, делится на 8.

Остается разобрать случай, когда четное число (x) делится на 4. Если х делится на 8 или произведение yz четно, то утверждение задачи верно. Допустим, что х не делится на 8, а yz нечетно. Тогда yz должно давать остаток 3 при делении на 4, что возможно только тогда, когда ровно одно из чисел y, z дает остаток 1 при делении на 4. Пусть x = 8a + 4, y = 4b + 1, где a, b — целые неотрицательные числа. Имеем xy + 1 = (8a + 4)(4b + 1) + 1 = 32ab + 8a + 16b + 5. Но точный квадрат не может давать остаток 5 при делении на 8.

Автор задачи — В. Сендеров, г. Москва