Бой за III место (8)

1.

Докажите, что натуральное число n является составным тогда и только тогда, когда существуют такие натуральные числа a, b, x и y, что a + b = n и x / a + y / b = 1.

2.

Государство состоит из нескольких республик, имеющих территории в виде одинаковых квадратов. В какое наименьшее количество цветов гарантированно можно окрасить карту государства, чтобы республики с общим участком границы были окрашены в разные цвета?

3.

Прямая касается вписанной окружности равностороннего треугольника ABC и пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Докажите, что AD : DB + AE : EC = 1.

4.

На клетчатой доске размером 1000 ´ 1000 стоят красные, синие и зеленые фишки (в каждой клетке — не больше одной фишки). Рядом (в соседних по стороне клетках) с любой красной фишкой стоят 2 синие, а рядом с любой синей — 3 зеленые. Докажите, что есть зеленая фишка, рядом с которой нет красных.

5.

Докажите, что для положительных чисел, меньших 1, выполняется:

6.

В тетраэдре ABCD угол BAC равен углу ACD, а угол ABD равен углу BDC. Докажите, что AB = CD.

7.

Количество k-элементных подмножеств n-элементного множества в 666 раз больше, чем количество 2-элементных. Найдите n.

8.

Существуют ли такие действительные числа a, b и c (a ¹ 0), что при всех 0 £ x £ p/2 выполнено равенство a sin² x + b sin x + c = cos x?