1863
358
468
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Бой за III место (8)

г.Рыбинск(2) - Гимназия(г.Ростов) (18 марта 2001 г.)

Докажите, что натуральное число n является составным тогда и только тогда, когда существуют такие натуральные числа a, b, x и y, что a + b = n и x / a + y / b = 1.

Если n = pq, то возьмем a = p, b = pq – p, x = p – 1, y = q – 1. Легко видеть, что эти числа удовлетворяют условию.

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть нашлись удовлетворяющие условию натуральные числа a, b, x и y. Предположим противное: n — простое число.

Преобразуем второе равенство из условия: bx + ay = ab.

Из первого равенства условия: b = n – a,

тогда (n – a)x + ay = a(n – a),

откуда n(x – a) + ay = a(x – a),

отсюда n(x – a) делится на a.

Число n — простое, отличное от a (иначе b = 0 — не натуральное), значит, (x – a) делится на a, значит и число x делится на a. То есть x = ak, где k — натуральное число.

Продолжим преобразования:

nak – a2k + ay = an – a2,

после сокращения на a, группировки получим:

k(n – a) + y = n – a,

отсюда y = l(n – a), где l — натуральное.

Подставляя во второе равенство условия, после сокращения получим k + l = 1, что невозможно.

Получили противоречие, значит число n — составное.

 16 Апреля 2004     21:37 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу