358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
1/4 финала. Вариант 1 (8)
г.Рыбинск(2) - Школа №36(г.Ярославль) (1 февраля 2001 года)
Доказать, что из трех отрезков с длинами a > 0, b > 0, c > 0 можно построить треугольник тогда и только тогда, когда pa2 + qb2 > pqc2 для любых чисел p и q, связанных соотношением p + q = 1. |
Нужно доказать равносильность утверждений: Преобразуем: K = pa2 + (1 – p) × b2 – p × (1 – p) × c2, K = c2p2 + (a2 – b2 – c2) × p + b2. Рассмотрим K как квадратный трехчлен относительно p: D = (a2 – b2 – c2)2 – 4b2c2, D = –(a + b + c)(a + b – c)(–a + b + c)(a – b + c). Если треугольник можно построить, то D < 0, откуда K > 0. Докажем, что из D < 0 (то есть (a + b – c)(–a + b + c)(a – b + c) > 0) следует (1). Предположим противное. Тогда один из сомножителей положителен, два других отрицательны. Пусть, например, (a + b – c) < 0 и (–a + b + c) < 0. Сложив эти неравенства, получим b < 0, что невозможно. |
16 Апреля 2004 21:01 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|
