1/8 финала. Вариант 3 (8)

1.

Даны три положительных числа a, b, c таких, что при любом натуральном k из отрезков длины a^k, b^k, c^k можно составить треугольник. Доказать, что среди чисел a, b, c есть два равных.

2.

Решить в целых числах уравнение: 1 + x + x² + x³ = 2^y.

3.

На участке, имеющем форму квадрата со стороной 1 км, растет сосновый лес из 4500 деревьев диаметра 50 см. Доказать, что в этом лесу можно выбрать прямоугольную площадку 10м ´ 20м, на которой не растет ни одной сосны.

4.

Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab = cd. Докажите, что число (a + b + c + d) не является простым.

5.

Доказать, что если n — натуральное число, большее 2, то (1 × 2 × 3 × … × n)² > nⁿ.

6.

Доказать неравенство

7.

Точки A₁, A₂, …, A_n не лежат на одной прямой. Пусть P и Q — две такие точки (отличные от точек A₁, A₂, …, A_n и не совпадающие друг с другом), что выполняется равенство:

A₁P + A₂P + … + A_nP = A₁Q + A₂Q + … + A_nQ = s.

Доказать, что существует точка K, для которой

A₁K + A₂K + … + A_nK < s.

8.

В выпуклом четырехугольнике три тупых угла. Доказать, что из двух его диагоналей большей является та, которая проведена из вершины острого угла.