1863
358
468
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

1/8 финала. Вариант 2 (8)

Задачи боя "Школа №33(2) - Школа №33(3)"

29 ноября 2000 года

Диагонали некоторого плоского четырехугольника, последовательные стороны которого имеют длины a, b, c, d, перпендикулярны. Доказать, что диагонали любого другого плоского четырехугольника, последовательные стороны которого имеют те же длины a, b, c, d, также перпендикулярны.

Докажем, что диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны тогда и только тогда, когда AB2 + CD2 = AD2 + BC2. Отсюда будет следовать утверждение задачи.

Пусть точка O — пересечение диагоналей четырехугольника ABCD.

1) Если диагонали перпендикулярны, то из треугольников ABO, BCO, CDO, DAO имеем

AB2 = AO2 + BO2, CD2 = CO2 + DO2,

BC2 = BO2 + CO2, DA2 = DO2 + AO2,

откуда

AB2 + CD2 = AD2 + BC2 = AO2 + BO2 + CO2 + DO2.

2) Если диагонали четырехугольника ABCD не перпендикулярны (пусть ÐAOB — острый), то из треугольников ABO, BCO, CDO, DAO имеем

AB2 < AO2 + BO2, CD2 < CO2 + DO2,

BC2 > BO2 + CO2, DA2 > DO2 + AO2,

откуда

AB2 + CD2 < AO2 + BO2 + CO2 + DO2,

AD2 + BC2 > AO2 + BO2 + CO2 + DO2,

то есть AB2 + CD2 ¹ AD2 + BC2.

Утверждение доказано.

 17 Марта 2004     21:22 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу