Осень 2002 года (25)

11.

Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася. Как Пете добиться того, чтобы итоговое число делилось на 9 независимо от ходов Васи?

12.

В первенстве по футболу участвует 8 команд. Каждая команда играет с каждой один матч. Команда Меркурий набрала 19 очков, а команда Уран 18. Каков результат матча Меркурий-Уран (ничья, победил Уран, победил Меркурий)? Известно, что за победу присуждается 3 очка, за ничью 1 очко, а за поражение 0 очков.

13.

Петя забыл последние 3 цифры телефонного номера, но помнит, что все цифры различны и среди них одна девятка. Какое максимальное число номеров ему придется набрать, чтобы попасть по нужному номеру?

14.

В клетках квадратной таблицы 3 × 3 расставлены числа 1, 2, 3, …, 9 так, что сумма каждых четырех чисел, заполняющих квадрат 2 × 2, равна одному и тому же числу S. Найдите все возможные значения S.

15.

Масса ста гирек, сваленных в одну кучу, составляет 500 г. Известно, что имеются только гирьки в 1г, 10г, 50г. Сколько в кучке гирек каждой массы? Ответ пояснить.

16.

Можно ли в ряду чисел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 так расставить во всех промежутках между числами знаки “+” и “–”, чтобы в результате получился 0?

17.

Ученики 7 класса решали две задачи. В конце занятия преподаватель составил четыре списка: I –решивших первую задачу, II – решивших только одну задачу, III – решивших по меньшей мере одну задачу, IV – решивших обе задачи. Какой из списков самый длинный?

18.

Пусть a, b, c — три цифры, отличные от нуля. Из них составили шесть различных чисел, в каждом из которых каждая из этих цифр встречается только один раз. “Крайним” из этих шести чисел называют наибольшее или наименьшее из них. Число – не “крайнее”. Укажите еще одно не “крайнее” число. Ответ обоснуйте.

19.

Часы, которые отстают на одну минуту в сутки, в данный момент показывают точное время. Когда они покажут точное время в следующий раз?

20.

Даны две параллельные прямые. На каждой прямой отмечено по четыре точки. Сколько можно построить треугольников с вершинами в этих точках?