Осень 2002 года (25)

6.

Капитан Врунгель утверждает, что сможет разложить 120 алмазов в отсеки коробки 3 ´ 5 так, чтобы во всех лежало различное число алмазов, а в любых двух соседних (через перегородку) было вместе не более 17 алмазов. Прав ли капитан? (Если прав – приведите пример расположения алмазов, иначе объясните, почему не прав.)

7.

У числа можно любую нечетную цифру переставлять в конец (записывать ее справа от него), а любую четную цифру переставлять в начало (записывать ее слева от него). Какое наименьшее число можно получить из числа 391728 такими перестановками? Ответ обоснуйте (то есть докажите, что меньшее число получить нельзя).

8.

Бумажный квадрат со стороной 5 см, разрезали на 6 прямоугольников (квадрат также является прямоугольником), с целочисленными периметрами (но не обязательно с целочисленными сторонами). Может ли быть сумма длин их периметров равной 50 см?

Целочисленный периметр – это периметр, выраженный целым числом сантиметров.

9.

Сколько существует четырехзначных чисел, у которых сумма цифр равна 34?

10.

Вчера на базаре Федя купил несколько воздушных шариков – красные по 7 рублей за штуку, а синие по 2 рубля за штуку. Придя сегодня на базар, он обнаружил, что цены шариков поменялись местами: красные стали стоить 2 рубля, а синие 7 рублей. Увидев такое, Федя сказал с досадой: “Покупай я те же шарики сегодня, сэкономил бы 27 рублей”. Докажите, что Федя не прав.