358
469
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Математическая регата (12)
Имеются два квадратных трёхчлена x2 + px + q и x2 + mx + n, причём корнями первого трехчлена являются числа m и n, а корнями второго — числа p и q. Какое значение принимает сумма этих трёхчленов при x = 2? |
Ответ: 8. Пусть F(x) = 2x2 + (p + m) × x + (q + n). Тогда F(2) = 8 + 2p + 2m + q + n = По теореме Виета m + n = –p; p + q = –m. Подставив это в полученное выражение, находим F(2) = 8. |
Замечание. Можно найти все пары трехчленов, обладающих свойствами, указанными в условии. Для этого используем теорему Виета полностью и получим, что m + n = –p, mn = q, p + q = –m, pq = n. Вычтем из первого уравнения третье: m + n – p – q = –p + m, откуда n = q. Тогда из второго уравнения получим: mq = q, откуда q = 0 или m = 1. Аналогично, из четвертого уравнения: q = 0 или p = 1. 1) Пусть q = n = 0, тогда p = –m, то есть, искомые трехчлены: x2 + px и x2 – px, где p — любое действительное число. 2) Пусть q = n ¹ 0, тогда p = 1 и m = 1. Подставив этот результат, например, в первое уравнение получим, что q = n = –2. Значит, искомые трехчлены одинаковы и имеют вид x2 + x – 2. |
1 Марта 2004 22:09 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|