Первая лига (8)

1.

Докажите, что для любых положительных чисел a, b и c выполняется неравенство:

a(b + c)² + b(c + a)² + c(a + b)² < (a + b + c)³ / 2.

2.

Окружность касается сторон угла АОВ в точках А и В. На меньшей дуге АВ взята точка М. Расстояния от М до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от М до прямой АВ.

3.

Натуральные числа от 1 до 22 записаны в такой последовательности a₁, a₂, …, a₂₂, что

.

Чему равна сумма ?

4.

Натуральное число n называется приятным, если каждый выпуклый
n-угольник обладает свойством: “Среди углов n-угольника найдутся три, градусные меры которых численно равны сторонам некоторого треугольника”. Найдите наименьшее приятное число.

5.

Даны две равные пересекающиеся окружности с центрами A и B. Через точки их пересечения проведены еще две равные окружности с центрами в точках M и K, касающиеся окружности с центром в точке B внутренним образом и друг друга — внешним образом. Точка их касания лежит на окружности с центром в точке A. Найдите угол MAK.

6.

По окружности расставлены в некотором порядке натуральные числа от 1 до n. Для каждой пары соседних чисел вычисляется их произведение. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих произведений?

7.

Два квадрата 10 ´ 10 одинаково раскрашены в 3 цвета, причем никакие две соседние (по стороне) клетки не покрашены в один цвет. Каждый квадрат разрезали произвольным образом на прямоугольники 2 ´ 1. Из частей одного квадрата составили новый квадрат 10 ´ 10. Всегда ли из частей второго квадрата можно составить квадрат, окрашенный таким же образом?

8.

На доску размером 11 ´ 11 клеток положили несколько квадратов размером 2 ´ 2 клетки так, что каждый квадрат закрывает 4 клетки и любые два квадрата пересекаются не более чем по одной клетке. Какое наибольшее число квадратов могли положить?