1863
358
467
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Высшая лига и лига 9 классов (8)

Страницы:  1 

1.

Докажите, что для любых положительных чисел a, b и c выполняется неравенство:

a(b + c)2 + b(c + a)2 + c(a + b)2 < (a + b + c)3 / 2.

 28 Февраля 2004     22:51 

2.

В ряд выписаны числа от 1 до 50 в некотором порядке. Разрешается менять местами два числа, если разность номеров их позиций равна наибольшему общему делителю этих чисел. Можно ли такими операциями получить произвольное расположение чисел?

 28 Февраля 2004     22:52 

3.

Натуральные числа от 1 до 22 записаны в такой последовательности a1, a2, …, a22, что

.

Чему равна сумма ?

 28 Февраля 2004     22:54 

4.

Натуральное число n называется приятным, если каждый выпуклый
n-угольник обладает свойством: “Среди углов n-угольника найдутся три, градусные меры которых численно равны сторонам некоторого треугольника”. Найдите наименьшее приятное число.

 28 Февраля 2004     22:55 

5.

В треугольник ABC вписана окружность с центром O, которая касается сторон BC, CA, AB соответственно в точках A1, B1, C1. Отрезки AO, BO, CO пересекают окружность в точках A2, B2, C2. Докажите, что площадь треугольника A2B2C2 равна половине площади шестиугольника B1A2C1B2A1C2.

 28 Февраля 2004     22:55 

6.

По окружности расставлены в некотором порядке натуральные числа от 1 до n. Для каждой пары соседних чисел вычисляется их произведение. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих произведений?

 28 Февраля 2004     22:59 

7.

Два квадрата 10 ´ 10 одинаково раскрашены в 3 цвета, причем никакие две соседние (по стороне) клетки не покрашены в один цвет. Каждый квадрат разрезали произвольным образом на прямоугольники 2 ´ 1. Из частей одного квадрата составили новый квадрат 10 ´ 10. Всегда ли из частей второго квадрата можно составить квадрат, окрашенный таким же образом?

 28 Февраля 2004     23:05 

8.

На доску размером 11 ´ 11 клеток положили несколько квадратов размером 2 ´ 2 клетки так, что каждый квадрат закрывает 4 клетки и любые два квадрата пересекаются не более чем по одной клетке. Какое наибольшее число квадратов могли положить?

 28 Февраля 2004     23:00 
Задач на странице:  5  10  25