Вторая лига (8)

1.

Житель страны Ш. считается богатым, если его месячный доход выше зарплаты министра финансов, иначе — небогатым. Известно, что богатые женихи предпочитают небогатых женщин. Докажите, что если доходы у всех разные, то можно установить министру финансов такую зарплату, чтобы в стране стало поровну богатых мужчин и небогатых женщин.

2.

Шулер Фукс кладет даму, короля и туза лицом вниз. Моряк Лом должен не более чем за три попытки разложить их по старшинству слева направо. Перед каждой попыткой он может указать на любые две карты и узнать, какая из них старше. Если после этого он выкладывает карты правильно, Фукс об этом сообщит. Если нет, то перед следующей попыткой Фукс незаметно поменяет местами две соседние карты (при этом он может выложить карты правильно, не сообщая об этом Лому). Есть ли у Лома способ справиться с заданием?

3.

Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная с вершинами на ребрах единичного куба. На каждой грани все звенья параллельны между собой.

а) Может ли в этой ломаной быть не менее 12 звеньев?

б) Может ли длина ломаной быть больше 100?

4.

Докажите неравенство ,
где a, b, c — длины сторон треугольника.

5.

Докажите, что для любой натуральной степени двойки найдется натуральный палиндром, который на нее делится. (Палиндромы — это числа, не меняющееся при прочтении справа налево, например, 1, 717, 2002).

6.

Можно ли вставить вместо многоточий числа (в десятичной записи) так, чтобы утверждение стало верным:

"В этом предложении цифра 0 встречается … раз(а);
цифры, не превышающие 1 — … раз(а);
цифры, не превышающие 2 — … раз(а);
цифры, не превышающие 3 — … раз(а);
цифры, не превышающие 4 — … раз(а);
цифры, не превышающие 5 — … раз(а);
цифры, не превышающие 6 — … раз(а);
цифры, не превышающие 7 — … раз(а);
цифры, не превышающие 8 — … раз(а);
цифры, не превышающие 9 — … раз(а)."?

7.

Дно коробки 5 ´ 5 выложено квадратными плитками 1 ´ 1, на каждой из которых стоит одна из стрелок ®, ¬, ­ или ¯. За один ход разрешается, выбрав любые две плитки, повернуть одну из них на 90° по часовой, а другую — на 90° против часовой стрелки. Можно ли за несколько ходов придать всем стрелкам направление, противоположное первоначальному?

8.

В чемпионате мира по тыквондо 18 спортсменов состязались в разбивании тыквы одним ударом на максимальное число частей. Все участники показали различные результаты, причем у чемпиона получилось втрое больше частей, чем у занявшего 10-е место, но меньше, чем у занявших 9-е и 10-е места, вместе взятых. Какого результата добился чемпион, если общее количество частей у всех участников оказалось меньше 270? Примечание: неразбитая тыква считается одной частью!