Первая лига (8)

1.

Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная с вершинами на ребрах единичного куба. На каждой грани все звенья параллельны между собой.

а) Может ли в этой ломаной быть не менее 12 звеньев?

б) Может ли длина ломаной быть больше 100?

2.

В каждой клетке прямоугольной доски 26 ´ 77 стоит по фишке.
Докажите, что все фишки можно переставить во второй прямоугольник 22 ´ 91 так, чтобы соседями (по стороне) оказались только те фишки, которые ранее стояли на одной вертикали или горизонтали.

3.

Дно коробки 5 ´ 5 выложено квадратными плитками 1 ´ 1, на каждой из которых стоит одна из стрелок ®, ¬, ­ или ¯. За один ход разрешается, выбрав любые две плитки, повернуть одну из них на 90° по часовой, а другую — на 90° против часовой стрелки. Можно ли за несколько ходов придать всем стрелкам направление, противоположное первоначальному?

4.

Можно ли вставить вместо многоточий числа (в десятичной записи) так, чтобы утверждение стало верным:

"В этом предложении цифра 0 встречается … раз(а);
цифры, не превышающие 1 — … раз(а);
цифры, не превышающие 2 — … раз(а);
цифры, не превышающие 3 — … раз(а);
цифры, не превышающие 4 — … раз(а);
цифры, не превышающие 5 — … раз(а);
цифры, не превышающие 6 — … раз(а);
цифры, не превышающие 7 — … раз(а);
цифры, не превышающие 8 — … раз(а);
цифры, не превышающие 9 — … раз(а)."?

5.

Верно ли, что всякое натуральное число можно представить как разность двух палиндромов? (Палиндромы — это числа, не меняющееся при прочтении справа налево, например, 0, 717, 2002).