358
469
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Первая лига (8)
Дно коробки 5 ´ 5 выложено квадратными плитками 1 ´ 1, на каждой из которых стоит одна из стрелок ®, ¬, или ¯. За один ход разрешается, выбрав любые две плитки, повернуть одну из них на 90° по часовой, а другую — на 90° против часовой стрелки. Можно ли за несколько ходов придать всем стрелкам направление, противоположное первоначальному? |
Ответ: нельзя. Для доказательства поставим в соответствие стрелкам “®”, “”, “¬” и “¯” числа 1, 2, 3 и 4 соответственно. Посмотрим, что происходит с суммой всех чисел в коробке в результате каждого хода. Если плитка поворачивается против часовой стрелки, то либо соответствующее ей число увеличивается на 1 (если оно равнялось 1, 2 или 3), либо уменьшается на 3 (если оно равнялось 4). Если же плитка поворачивается по часовой стрелке, то либо соответствующее ей число уменьшается на 1 (если оно равнялось 2, 3 или 4), либо увеличивается на 3 (если оно равнялось 1). Числа, соответствующие остальным плиткам, не меняются. Таким образом, возможны 2×2 = 4 варианта изменения суммы всех чисел в коробке: она может измениться либо на +1 - 1 = 0, либо на +1 + 3 = 4, либо на -3 - 1 = -4, либо на -3 + 3 = 0. При этом не меняется остаток от деления суммы всех чисел на 4. С другой стороны, если удалось повернуть каждую плитку так, чтобы стрелка “смотрела” в противоположном направлении, то число на каждой плитке либо увеличится, либо уменьшится на 2. Таким образом, итоговая сумма всех чисел должна измениться на число, равное сумме 25 чисел, каждое из которых равно 2 или -2, что невозможно, так как это число не делится на 4. |
Авторы: Е. Барабанов, И. Воронович. |
28 Февраля 2004 22:20 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|