Юниорская лига (8)

1.

У 5 ключей от гостиничных номеров потерялись бирки. За какое наименьшее число пробных открываний можно наверняка определить, от какого номера каждый ключ?

2.

Матрос Фукс купил цифровые часы. Выяснилось, однако, что они настроены на туземное 24-часовое время, которое отстает от московского на целое число минут, и перенастроить их нельзя. Заметив, что все цифры, кроме 3, 4, 7, в перевернутом виде тоже выглядят как цифры, капитан Врунгель поставил часы вверх ногами (так что, например, вместо O52I видно I25O ). Оказалось, что теперь часы ровно 6 раз в сутки правильно показывают московское время. На сколько туземное время отстает от московского?

3.

Можно ли раскрасить натуральный ряд в 4 цвета так, чтобы для любого натурального n числа n, 2n, 3n и 4n были окрашены в разные цвета?

4.

За один ход разрешается отсечь от многоугольника треугольник прямой, не проходящей через вершины многоугольника. Вначале есть квадрат с точкой в центре. Докажите, что после любого числа ходов точка не будет отсечена.

5.

Во вписанном четырехугольнике ABCD точка K — середина стороны AD, а ÐABK = ÐDCK. Докажите, что AB = CD.

6.

Пусть a и n — натуральные числа. Известно, что последняя цифра суммы a + a² + … + aⁿ равна 1. Докажите, что последние цифры чисел a и n тоже равны 1.

7.

Можно ли ребра куба раскрасить в два цвета так, чтобы можно было добраться от любой вершины к любой другой как по ребрам одного цвета, так и по ребрам другого цвета?

8.

Известно, что a > b > 0 и . Докажите, что .