Вторая лига (8)

1.

У 4 ключей от гостиничных номеров потерялись бирки. За какое наименьшее число пробных открываний можно наверняка определить, от какого номера каждый ключ?

2.

Матрос Фукс купил цифровые часы. Выяснилось, однако, что они настроены на туземное 24-часовое время, которое не совпадает с московским, отличаясь от него на целое число минут, и перенастроить их нельзя. Заметив, что все цифры, кроме 3, 4, 7, в перевернутом виде тоже выглядят как цифры, капитан Врунгель поставил часы вверх ногами (так что, например, вместо O52I видно I25O ). Могут ли теперь часы не менее 6 раз в сутки правильно показывать московское время?

3.

Треугольник обтянули по периметру ленточкой и отметили краской точки, находящиеся в вершинах треугольника. Ленту вращают вокруг треугольника. Докажите, что в некоторый момент прямые, соединяющие вершины треугольника с соответствующими им точками на ленте, пересекутся в одной точке, и определите, когда это произойдет.

4.

Можно ли раскрасить натуральный ряд в 2 цвета так, чтобы для любого натурального n числа n и 2n были окрашены в разные цвета?

5.

Во вписанном четырехугольнике ABCD точка K — середина стороны AD, а ÐABK = ÐDCK. Докажите, что AB = CD.

6.

Посередине доски 1 × 999 стоит столбик из 100 положенных друг на друга монет. За один ход разрешается снять с верха любого столбика k монет (где k — любое число от 1 до всех) и переставить их на k полей влево или вправо; если там уже стоит столбик, положить монеты на него. Можно ли передвинуть столбик на соседнее справа поле менее чем за 15 ходов?

7.

У квадратных трехчленов f и g коэффициенты при x² — ненулевые. Известно, [f(x)] = [g(x)] при всех действительных x. Докажите, что f(x) = g(x) при всех действительных x.

8.

Пусть a и n — натуральные числа. Известно, что последняя цифра суммы a + a² + … + aⁿ равна 1. Докажите, что последние цифры чисел a и n тоже равны 1.