Первая лига (10)

1.

У 5 ключей от гостиничных номеров потерялись бирки. За какое наименьшее число пробных открываний можно наверняка определить, от какого номера каждый ключ?

2.

За один ход разрешается отсечь от многоугольника треугольник прямой, не проходящей через вершины многоугольника. Вначале есть квадрат с точкой в центре. Докажите, что после любого числа ходов точка не будет отсечена.

3.

В выпуклом пятиугольнике ABCDE на диагонали BD нашлась такая точка M, что ÐCBD = ÐMEA, ÐCDB = ÐMAE. Докажите, что S_ABDE = S_ACE.

4.

Матрос Фукс купил цифровые часы. Выяснилось, однако, что они настроены на туземное 24-часовое время, которое отстает от московского на целое число минут, и перенастроить их нельзя. Заметив, что все цифры, кроме 3, 4, 7, в перевернутом виде тоже выглядят как цифры, капитан Врунгель поставил часы вверх ногами (так что, например, вместо O52I видно I25O ). Оказалось, что теперь часы ровно 6 раз в сутки правильно показывают московское время. На сколько туземное время отстает от московского?

5.

Пусть f(x, y) — многочлен от двух переменных. Известно, что при любых натуральных a и b число f(a, b) натурально и является общим делителем a и b. Докажите, что f(x, y) º 1.

6.

Можно ли раскрасить натуральный ряд в 4 цвета так, чтобы для любого натурального n числа n, 2n, 3n и 4n были окрашены в разные цвета?

7.

Даны 6 точек в пространстве, никакие 4 из которые не лежат на одной плоскости. Докажите, что их можно разбить на две тройки так, что контуры двух треугольников с вершинами в точках каждой из троек будут зацеплены.

8.

Дан остроугольный треугольник ABC и точка M внутри него. Длины сторон треугольника равняются a, b и c.
Докажите, что .

9.

В каждой клетке таблицы n × n записано по -1, кроме того, фиксированы натуральные числа k и l, меньшие n. Разрешается одновременно поменять знаки у всех чисел, образующих прямоугольник k × l. Докажите, что сделать все числа равными +1 возможно только тогда, когда число n делится как на k, так и на l.

10.

Во вписанном четырехугольнике ABCD точка K — середина стороны AD, а ÐABK = ÐDCK. Докажите, что AB = CD.